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第七章 参数估计
一、 填空题：
1．设总体X~N(?,?2)，X1,X2,?,Xn是来自X的一个样本，参数?,?2都是未知的，
则?的矩估计量为 。?的矩估计量为 。 2．设总体X~N(?,?2)，其中?未知，?已知，X1,X2,?,Xn是来自X的一个样本，
n1n1n22做样本函数如下①?(Xi??)，②?[(Xi??)?]，③?(Xi?X)2，④
ni?1ni?1i?1n11n2，⑤(X?X)(Xi?1?Xi)2，这些样本函数中，是统计量的??in?1i?1i?12(n?1)22有 , 统计量中是的无偏估计量的有 。
?2?2(??x),X3．设某总体的密度函数为f(x;?)????0,?参数?的矩估计量为 。
0?x??其他，对容量为n的样本，
4.假设总体?~N(?,0.81)，X1,X2,?,Xn是来自?的样本，测得样本均值x?5，则置
信度是0.99的?的置信区间是
5．设X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，对总体方差进行估计时，常用的无偏估计量是 。
6．设总体X在区间[0,?]上服从均匀分布，则未知参数?的矩法估计量为 。
二、选择题：
1．设X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，E(x)??,D(x)??，并且和是未知参数，下面结论中是错误的[ ]。
2?2?X1是?的无偏估计； ?1?X是?的无偏估计； （B）?（A）?1n?1比??2有效； （C）?(Xi??)2是?2的 极大似然估计量。（C）?
ni?1
1
2．设X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，X的分布函数F(X;?)含未知参数，则下列结论中，正确的是[ ]。
（A） 用矩估计法和极大似然估计法求出?的估计量相同； （B） 用矩估计法和极大似然估计法求出?的估计量不同；
（C） 用矩估计法和极大似然估计法求出?的估计量不一定相同； （D） 用极大似然估计法求出的估计量是唯一的；
??????)?1??的正确含义是[ ] 3．在区间估计中P(?12?,??)内； (A)?以1??的概率落在区间(?12?,??)以外的概率为?； (B)?落在区间(?12?,??)以外的概率为?； (C)?不落在区间(?12?,??)包含?的概率为1??。 (D)随机区间(?121n1n24．设X1,X2,?,Xn独立同分布，D(x)??，X??Xi，S?(Xi?X)2，?ni?1n?1i?12则[ ]
2 (A) S是?的无偏估计； (B) S是?的极大似然估计；
(C) S是?的相合(一致)估计； (D) S与X相互独立。
5．设总体X~N(?,?)，其中?未知，则总体均值?的置信区间长度L与致信度1?? 的关系是[ ]
(A) 当1??缩小时，L缩短； (B) 当1??缩小时，L增大； (C) 当1??缩小时，L不变； (D) 以上说法都不变。
22三、计算题：
1．总体的密度函数为
f(x;?)??xe??x(x?0,1,?;0?????)
用矩估计量及极大似然法求?的估计量??（设样本容量为n）。
x?1???e,2．设某总体X的密度函数为?(x;?)????0,?x?0,??0其他，求
2
(1) ?的极大似然估计量??； (2) 判断??是否为?的无偏估计；
3．设某车间生产的螺杆直径服从正态分布N(?,?2)，今随机地从中抽取5只，测得直径分别为22.3 , 21.5 , 22.0 , 21.8 , 21.4 (单位：mm)，求直径均值?的置信度是0.95的置信区间，其中总体标准差0.3。若?未知，则置信区间又如何？
4．设总体为N(?,?2)，??3。如果要求?的置信度1??置信区间的长度不超过2，如取水平??0.1或0.01，那么需要抽取的样本容量n应该分别是多少？
5．一批产品中含有废品，从中随机得抽取60件，发现废品4件，试用矩估计法估计这批产品的废品率。
四、证明题：
?不是?的无偏估计。 1． 设??是参数?的无偏估计，且有D(?)?0，试证?22
22． 设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(?,?)的一个样本，其中?已知，试证
1n???(Xi??)2是?2的无偏估计和相合估计。 ?ni?12 3