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第9讲 整数分拆
1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大．也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数．
2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P． 3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大．
4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数． 如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1．
5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法．
即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数2－1个奇约数． 6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：
m 如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得
到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式．
我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆．
1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆．
【分析与解】 画出示意图的共轭分拆．
，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5
2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等．则该电视连续剧最多可以播出几天?
【分析与解】 由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少．
选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成： 30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8
1
即最多可以播出7天．
3．若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去。再把盒子重排了一下．小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子．问：一共有多少只盒子?
【分析与解】 设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加了b只，由于小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球． 同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球．
类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数．
现在变成：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数? 因为42=6×7，故可以看成7个6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6个6，从而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7个加数；
又因为42=14×3，故可将42：13+14+15，一共有3个加数； 又因为42=21×2，故可将42=9+10+11+12，一共有4个加数．
所以原问题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子
4．机器人从自然数1开始由小到大按如下规则进行染色：
凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色，不符合上述要求的自然数染成黄色(比如23可表示成两个不同合数15和8之和，23要染红色；1不能表示为两个不同合数之和，1染黄色)．问：要染成红色的数由小到大数下去，第2000个数是多少?请说明理由．
【分析与解】 显然1要染黄色，2=1+1也要染黄色，
3=1+2，4=1+3=2+2，5=1+4=2+3，6=1+5=2+4=3+3，7=1+6=2+5=3+4，8=1+7=2+6=3+5=4+4，9=1+8=2+7=3+6=4+5，10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5，11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6． 可见，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均应染成黄色． 下面统一观察其他自然数，说明其他自然数均要染成红色． 1)当n为大于等于10的偶数时，n=2k=4+2(k－2)．
由于n≥10，所以k≥15，k－2≥3，2(k－2)与4均为合数，且不相等．于是，大于等于10的偶数都可以表示两个不同的合数之和，应染成红色．
2)当n为大于等于13的奇数时，n=2k+1=9+2(k－4)．
由于n≥13，所以k≥6，k－4≥2，2(k－2)≥4与9均是合数，且不相等．也就是说，大于等于13的奇数均能表示为两个不同的合数之和，应染红色．
所以，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11这10个数染黄色外，其余自然数均染红色，第k个染为红色的数是第(k+10)个自然数(k≥2)．
所以第2000个染红色的数是2000+10=2010．
5.在整数中，有用2个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方法．例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有两个用2个以上连续自然数的和来表达它的方法. (1)请写出只有3种这样的表示方法的最小自然数．
2
(2)请写出只有6种这样的表示方法的最小自然数．
【分析与解】 关于某整数，它的“奇数的约数的个数减1”，就是用连续的整数的和的形式来表达 种数.
根据（1）知道，有3种表达方法，于是奇约数的个数为3+1=4，对4分解质因数4=2×2，最小的15(1、3、5、15)；
有连续的2、3、5个数相加；7+8；4+5+6；1+2+3+4+5；
根据(2)知道，有6种表示方法，于是奇数约数的个数为6+1=7，最小为729(1、3、9、27、81、243、729)，有连续的2,3、6、9、10、27个数相加：
364+365；242+243+244；119+120+…+124；77+78+79+…+85；36+37+…+45；14+15+…+40．
6.从整数1开始不改变顺序的相加，中途分为两组，使每组的和相等.如从1到3的话，1+2=3；从1到20的话：1+2+3+…+14=15+16+17+…+20.
请问：除上述两例外，能够列出这样的最短的整数算式是从1到几?
【分析与解】 我们用这种阶梯图来表示连续的数相加，假设情况见下图，
我们通过图得知，c是公共部分，而b+c为原等式的右边，a +c为原等式的左边，所以有a=b，a部分面积为加到1)；
有
A?(A?1) (可以看成从1一直加到A)，b部分面积为B×B(可以看作从1一直加到B再又2A?(A?1)=B×B． 2 可以表示为奇数×相邻的偶数÷2=B×B；
其中A是连续两个数中较小的一个，B的平方等于连续两个数的乘积除以2． 因为相邻的两个数互质，所以，偶数÷2后与原相邻奇数也互质； 所以，奇数必定为完全平方数；偶数÷2也为完全平方数，这样：
①奇数为1，则偶数为2，除以2，为1，均为完全平方数．A=l，B=1×2÷2=1，于是为A+B=2，A+2B=3；所以为l+2=3；
②奇数为9，则偶数为8，除以2，为4，均为完全平方数．A=8，B=8×9÷2=36，于是为A+B=8+6=14，A+2B=8+2×6=20；所以为1+2+3+…+14=15+16+17+…+20；
还可以偶数为10，除以2，为5，不是完全平方数，不满足．
③奇数为25，则偶数为24，除以2，为12，不是完全平方数，不满足； 还可以偶数为26，除以2，为13，不是完全平方数，不满足．
④奇数为49，则偶数为48，除以2，为24，不是完全平方数，不满足；
22 3
B=49×50÷2=1225， 还可以偶数为50，除以2，为25，是完全平方数．A=49，于是为A+B=49+35=84，
A+2B=49+2×35=119．所以等式为l+2+3+…+84=85+86+87+…+119(=3570)．
所以所求的式子为1+2+3+…+84=85+86+87+…+119(=3570)．
7．把一个整数写成非零自然数的和的形式．如果所用的几个自然数相同，只是写的顺序不同，也只算做一种方法．另外，只使用一个自然数，也算做一种方法．
(1)比如，把6用三个以内的自然数的和来表示的方法有如下七种：
6，5+1，4+2，3+3，4+l+1，3+2+1，2+2+2．请问：把50用三个以内的自然数的和来表示的方法有几种?
(2)比如，把7用3以下的自然数的和来表示的方法有如下八种：
3+3+1，3+2+2，3+2+1+1，2+2+2+l，3+1+1+1+1，2+2+l+1+1，2+1+1+1+1+1，1+l+1+1+1+1+1．请问：把50用3以下的自然数的和来表示的方法有几种?
【分析与解】 (1)我们注意到设x+y+z=50，求x、y、z有多少组可能的值,并且x、y、z代表的数字调换顺序只算一种．
为了方便计算，不妨设x≤y≤z．
当x=0时，y+z=50，y可以取0～25，z对应取值，于是有26组解； 当x=1时，y+z=49，y可以取1～24，z对应取值，于是有24组解； 当x=2时，y+z=48，y可以取2～24，z对应取值，于是有23组解； 当x=3时，y+z=47，y可以取3～23，z对应取值，于是有21组解；
当x=4时，y+z=46, y可以取4～23，z对应取值，于是有20组解； …… …… …… …… …… …… ……
当x=15时，y+z=35，y可以取15～17，z对应取值，于是有3组解； 当x=16时，y+z=34，y可以取16～17，z对应取值，于是有2组解． 所以，共有26+24+23+21+20+…+3+2组可能的值；
我们知道有17个数的和，我们注意到这些数的规律，每个数是上一个数－2,－1，－2，－1，…， －2，－1； 所以，我们这样计算26+(24+23)+(21+20)+…+(3+2)=26+47?47?8项2?5=26+(47+5)×8÷2=26+52×
4=234
所以有234种不同的表示方法．
(2)我们注意一下，把6也分成三个以内的数的和，如： 6=1+1+4．
我们注意到从左往右看可以得到下面的数：1+1+4=6，
而从上往下看得到右边的数3+1+1+1=6，每个数都是3或3以下.
并且不光是6满足，其他的也满足，当把它从左到右排列成三个数以内的和，则从上到下一定是3以内的数的和.
也就说是一一对应的，于是(1)的种数就是(2)所对应的种数．即234种.
8．洗衣服要打好肥皂，揉搓得很充分，再拧一下，当然不可能全拧干．假设使劲拧紧后，衣服上
4
还留有1千克带污物的水．现在有清水18千克，假设每次用来漂洗的水都是整数千克，试问留下的污物最少是洗涤前的几分之几?
【分析与解】 我们假设分成n次分别为x，y，z，……，
则每次漂洗的时候，总是加上上次剩下的l千克污水，则每次实际水量分别为： x+1，y+l，z+1，…， 则最后剩下了
1111????x?1y?1z?1?1,，要使最后残留的最少，只要分母最大即可．
注意到当18全部分成2的时候，2+1即是3，也就是满足我们【内容概述】第3条了，此时分了
1?1?18÷2=9次，于是为???.
319683?? 但是我们还应注意到，当分的次数越多，分母的和越大．如：当分成10次时，经过的水量变成
8291?1??1?18+10=28，则此时可以是8个3千克，2个2千克，此时为??????．
?3??2?26244 于是考虑最极端的情况，我们把清水分成18次，此时经过的水量变成18+18=36，为18个2千克，
181?1?此时对应???．因为每次必须是整数千克的水，所以不能再分．
2262144?? 于是，当分成18次，每次1千克，此时剩下的污物残留量最少，为洗涤前的
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1.
262144