发布时间 : 星期五 文章北京市昌平区2016-2017学年高三(上)期末数学试卷(理科)试卷(含答案)更新完毕开始阅读ac357164bed126fff705cc1755270722182e5951
【解答】解：由题意，∵角α的终边过点P（3，4）， ∴cosα=，sinα= ∴cos2α=cosα﹣sinα=故答案为：
2
2
=
【点评】本题重点考查三角函数的定义，考查二倍角的余弦公式，正确运用公式是解题的关键．
13．在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，那么的取值范围是 [﹣4，1] ． 【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，求得
=
?（
﹣
）=
﹣4，求得
?
的范围，可得
，那么
的取值范围．
=AC?AB?cos∠
= 4 ；若E为线段AC上的动点，则
【解答】解：在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，则cos∠CAB=CAB=
?2?
=4；
=
?（
﹣
）=
?
若E为线段AC上的动点，则当点E和点A重合时，为故
=5，
﹣=﹣4； 取得最大值
取得最小值为0，当点E和点C重合时，
的取值范围是[﹣4，1]，
故答案为：4；[﹣4，1]．
【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于基础题． 14．设函数
①若a=1，则f（x）的零点个数为 2 ；
②若f（x）恰有1个零点，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣3） ． 【考点】分段函数的应用．
【分析】把函数y=﹣（x+3）（x﹣1），y=2x﹣2的图象画在同一直角坐标系中．直线x=a
在平移过程中，可得到函数f（x）与x轴的不同交点个数．
【解答】解：把函数y=﹣（x+3）（x﹣1），y=2﹣2的图象画在同一直角坐标系中．如图所示：
直线x=a在平移过程中，可得到函数f（x）与x轴的不同交点个数，①若a=1，则f（x）的零点个数为：2
②若f（x）恰有1个零点，则实数a的取值范围是：a＜﹣3． 故答案为：2，（﹣∞，﹣3）
x
【点评】题主要考查函数的图象的交点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，属于基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）（2016秋?昌平区期末）已知△ABC是等边三角形，D在BC的延长线上，且CD=2，
．
（Ⅰ）求AB的长； （Ⅱ）求sin∠CAD的值．
【考点】余弦定理．
【分析】（Ⅰ）设AB=x．由△ABC是等边三角形，可求∠ABC的值，利用三角形面积公式可
得x+2x﹣24=0，进而解得AB的值．
（Ⅱ）由余弦定理可求AD的值，进而利用正弦定理可求sin∠CAD的值． 【解答】（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设AB=x． 因为△ABC是等边三角形， 所以因为所以
即x2+2x﹣24=0． 所以x=4，x=﹣6（舍）． 所以AB=4．…
（Ⅱ）因为AD=AB+BD﹣2AB?BDcos∠ABC， 所以所以
．
．
2
2
2
2
．
， ．
在△ACD中， 因为
，
所以．…（13分）
【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．
16．（13分）（2016秋?昌平区期末）A、B两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：
（I） 试估计B班的学生人数；
（II） 从A班和B班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，B班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量ξ．规定： 当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记ξ=﹣1，
当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记ξ=0， 当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记ξ=1． 求随机变量ξ的分布列及期望．
（III） 再从A、B两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小（结论不要求证明）．
【考点】离散型随机变量及其分布列；茎叶图．
【分析】（Ⅰ）由题意可知，抽出的13名学生中，来自B班的学生有7名．根据分层抽样方法，能求出B班的学生人数．
（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为﹣1，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的概率分布列及期望．
（Ⅲ）利用数学期望的性质能求出μ1＞μ0． 【解答】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意可知，抽出的13名学生中，来自B班的学生有7名． 根据分层抽样方法，B班的学生人数估计为（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为﹣1，0，1，
， ，
，
则ξ的概率分布列为：
ξ P
﹣1
0
．…（11分）
（Ⅲ）μ1＞μ0．…（13分）
1
（人）．…