发布时间 : 星期六 文章北京市昌平区2016-2017学年高三(上)期末数学试卷(理科)试卷(含答案)更新完毕开始阅读ac357164bed126fff705cc1755270722182e5951
由已知得，解得．
所以椭圆C的方程为法二
设椭圆c的标准方程为
+=1．
．
由已知得，．
所以a=2，b2=a2﹣c2=2． 所以椭圆c的方程为为（ II）法一
当直线l的斜率存在时（由题意k≠0），设直线l的方程为y=kx+1．
+
=1．
由得（2k+1）x+4kx﹣2=0．
22
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
则
特殊地，当A为（2，0）时，k=﹣，所以2x2=﹣，x2=﹣，y2=，即B（﹣，） 所以点B关于y轴的对称点D（，），则直线AD的方程为y=﹣x+2． 又因为当直线l斜率不存时，直线AD的方程为x=0， 如果存在定点Q满足条件，则Q（0，2）． 所以KQA=
=
=k﹣
，KQB=
=﹣k+
，
又因为
所以KQA=KQB，即A，D，Q三点共线．
即直线AD恒过定点，定点坐标为Q（0，2）． 法二
，
（ II）①当直线l的斜率存在时（由题意k≠0），设直线l的方程为y=kx+1． 由
，可得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则D（﹣x2，y2）．
所以
因为，
所以直线AD的方程为：．
所以，
=，
=，
=，
=，
=，
=．
因为当x=0，y=2，
所以直线MD恒过（0，2）点．
②当k不存在时，直线AD的方程为x=0，过定点（0，2）． 综上所述，直线AD恒过定点，定点坐标为（0，2）．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（13分）（2016秋?昌平区期末）已知Ω是集合{（x，y）|0≤x≤6，0≤y≤4}所表示图形边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的集合，集合D={（6，0），（﹣6，0），（0，4），（0，﹣4），（4，﹣4），（﹣4，4），（2，﹣2），（﹣2，2）}．规定： （1）对于任意的a=（x1，y1）∈Ω，b=（x2，y2）∈D，a+b=（x1，y1）+（x2，y2）=（x1+x2，y1+y2）
（2）对于任意的k∈N*，序列ak，bk满足： ①ak∈Ω，bk∈D
②a1=（0，0），ak=ak﹣1+bk﹣1，k≥2，k∈N* （Ⅰ） 求a2
（Ⅱ） 证明：?k∈N*，ak≠（5，0）
（Ⅲ） 若ak=（6，2），写出满足条件的k的最小值及相应的a1，a2，…，ak． 【考点】数学归纳法．
【分析】（Ⅰ）根据新定义即可求出a2=（6，0）或（0，4）， （Ⅱ）利用反证法即可证明，
（Ⅲ）由新定义可得kmin=5，相应的a1，a2，…，ak．
【解答】解：（Ⅰ）对于任意的b=（x2，y2）∈D，a1+b=（0，0）+（x2，y2）=（x2，y2） 若（x2，y2）∈Ω，则（x2，y2）=（6，0），或（x2，y2）=（0，4）， 故a2=（6，0）或（0，4），
（Ⅱ） 证明：假设命题不成立，即?k∈N*，使ak=（5，0） 即?bi∈D，i=1，2，…，k﹣1（k≥2），使a1+
=ak，化简得
=（5，0），
所以存在m，n，p∈Z，且m+n+p=k﹣1，使6m+4n+2p=5．
又因为6m+4n+2p=2（3m+2n+p）是偶数，而5是奇数，与6m+4n+2p=5矛盾， 故假设不成立，即：?k∈N，ak≠（5，0），
（Ⅲ）kmin=5，a1=（0，0），a2=（0，4），a3=（4，0），a4=（4，4），a5=（6，2）． 【点评】本题考查了新定义的知识的应用，关键是读懂新定义，以及反证法，属于中档题．
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