发布时间 : 星期一 文章2010年中考数学真题分类汇编(150套)专题十八·二次函数的图象和性质2更新完毕开始阅读acc8549d3d1ec5da50e2524de518964bce84d2dc
所以2?b?4?b，解得b1?4,b2??2，
所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形.
31．（2010湖南怀化）图9是二次函数y?(x?m)?k的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与x轴的交点A,B的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S?PAB?25S?MAB,若存在，求出P点的 4坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变， 得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y?x?b(b?1)与此 图象有两个公共点时，b的取值范围.
图9
2【答案】解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数y?(x?m)?k的顶点坐标，
所以y?(x?1)?4?x?2x?3 令x?2x?3?0,解之得x1??1,x2?3. ∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0） (2) 在二次函数的图象上存在点P，使S?PAB?设p(x,y),则S?PAB∴2y?2225S?MAB 411?AB?y?2y，又S?MAB?AB??4?8, 225?8,即y??5. 4∵二次函数的最小值为-4，∴y?5. 当y?5时，x??2,或x?4.
故P点坐标为（-2，5）或（4，5）……………7分 （3）如图1，当直线y?x?b(b?1)经过A点时，可得
b?1.……………8分
图1
当直线y?x?b(b?1)经过B点时，可得b??3.
由图可知符合题意的b的取值范围为?3?b?1 32．（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C．
（1）求点C的坐标．
（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．
（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值． （4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．
【答案】
（1）点C的坐标是（4，0）；
（2）设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），将点A、B、C三点的坐标代入得：
1?a???20?a?b?c??1233??2?c解得，∴抛物线的解析式是：y= x+x+2． ?b???222?0?16a?4b?c???c?2??（3）设P、Q的运动时间为t秒，则BP=t，CQ=t．以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论．
①若CQ=PC，如图所示，则PC= CQ=BP=t．∴有2t=BC=25，∴t=5．
②若PQ=QC，如图所示，过点Q作DQ⊥BC交CB于点D，则有CD=PD．由△ABC∽△QDC，可得出PD=CD=
254540?105t，∴t?25?t，解得t=． 551125125PC，∴t=552③若PQ=PC，如图所示，过点P作PE⊥AC交AC于点E，则EC=QE=
（25-t），解得t=325?40．
11（4）当CQ=PC时，由（3）知t=5，∴点P的坐标是（2，1），∴直线OP的解析式是：y=
1113x，因而有x =?x2+x+2，即x2-2x-4=0，解得x=1±5，∴直线OP与抛物线的22221?51?5）和（1-5，）． 22交点坐标为（1+5，33．（2010湖北省咸宁）已知二次函数y?x2?bx?c的图象与x轴两交点的坐标分别为
（m，0），（?3m，0）（m?0）．
（1）证明4c?3b2；
（2）若该函数图象的对称轴为直线x?1，试求二次函数的最小值．
【答案】（1）证明：依题意，m，?3m是一元二次方程x2?bx?c?0的两根．
根据一元二次方程根与系数的关系，得m?(?3m)??b，m?(?3m)??c．
∴b?2m，c?3m2． ∴4c?3b2?12m2． （2）解：依题意，?b?1，∴b??2． 233由（1）得c?b2??(?2)2?3．
44∴y?x2?2x?3?(x?1)2?4．
2∴二次函数的最小值为?4．
34．（2010湖北恩施自治州） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y?x?bx?c的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
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【答案】解：（1）将B、C两点的坐标代入得??3b?c?0
c??3?解得：?2?b??2
?c??3所以二次函数的表达式为：y?x?2x?3
（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，x2?2x?3）， PP交CO于E
若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．
连结PP 则PE⊥CO于E，
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∴OE=EC=2 ∴y=?3．
22∴x?2x?3=?3
32解得x1=
2?102?10，x2=（不合题意，舍去） 22