发布时间 : 星期一 文章2019年高考数学（理科）一轮复习达标检测（十三） 极值、最值两考点，利用导数巧推演更新完毕开始阅读ad20b45185254b35eefdc8d376eeaeaad1f316fe
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高考达标检测（十三） 极值、最值两考点，利用导数巧推演
一、选择题
1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是( ) A．x＝1 C．x＝1或－1或0
解析：选C ∵f(x)＝x4－2x2＋3， ∴由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0， 得x＝0或x＝1或x＝－1，
又当x<－1时，f′(x)<0，当－1
a
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则b的值为( ) 2A．－
32
C．－2或－
3
B．－2 2
D．2或－
3B．x＝－1 D．x＝0
解析：选A 由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，
????3＋2a＋b＝0，?a＝－2，?a＝－6，??即解得或? 2????1＋a＋b－a－7a＝10，?b＝1?b＝9，??a＝－6，a2经检验?满足题意，故b＝－.
3?b＝9?
3．(2018·浙江瑞安中学月考)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如
2
图所示，则x21＋x2等于( )
2
A. 38C. 3
4B. 316D. 3
解析：选C 由图象可知f(x)过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点， 因此1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2， 所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2. x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根，
24822
因此x1＋x2＝2，x1x2＝，所以x21＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝4－＝. 333
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切
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线斜率均为－1，有以下命题：
①f(x)的解析式为：f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]； ②f(x)的极值点有且仅有一个； ③f(x)的最大值与最小值之和等于零． 其中正确的命题个数为( ) A．0 C．2
解析：选C f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，
f′?1?＝3＋2a＋b＝－1，??
所以?f′?－1?＝3－2a＋b＝－1，
??c＝0，
B．1 D．3
a＝0，??
解得?b＝4，
??c＝0，
则f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]，故①正确；
23
f′(x)＝3x2－4，令f′(x)＝0，解得x＝±∈[－2,2]，
323
易知，x＝±均为函数的极值点，故②错误；
3
易知函数f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]是奇函数，所以最大值与最小值之和为0，故③正确． 因此，正确命题的个数为2，故选C. 5．(2017·长沙二模)已知函数f(x)＝为( )
A.3－1 4C. 3
3B. 4D.3＋1
x3
(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值
3x＋a
2a－x2x
解析：选A 由f(x)＝2，得f′(x)＝2，
x＋a?x＋a?2当a＞1时，若x＞a，则f′(x)＜0，f(x)单调递减， 若1＜x＜a，则f′(x)>0，f(x)单调递增，
133
故当x＝a时，函数f(x)有最大值＝，得a＝＜1，不合题意；
42a31
当a＝1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，最大值为f(1)＝，不合题意；
213
当0＜a＜1时，函数f(x)在 [1，＋∞)上单调递减，此时最大值为f(1)＝＝，得a＋13
.
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a＝3－1，符合题意．故a的值为3－1，选A.
6．已知直线l1：y＝x＋a分别与直线l2：y＝2(x＋1)及曲线C：y＝x＋ln x交于A，B两点，则A，B两点间距离的最小值为( )
35A.
565C.
5解析：选D 由?
?y＝x＋a，?
??y＝2?x＋1?，
B．3 D．32
得A(a－2,2a－2)，
??y＝x＋a，
由?得B(ea，a＋ea)， ?y＝x＋ln x，?
|AB|＝?ea－a＋2?2＋[?ea＋a?－?2a－2?]2＝2(ea－a＋2)， 令g(a)＝ea－a＋2，
则g′(a)＝ea－1，g(a)在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增， 所以g(a)在a＝0处取得最小值g(0)＝3， 所以A，B两点间距离的最小值为32. 二、填空题
7．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________．
解析：因为f(x)的定义域为(0，＋∞)， 11又f′(x)＝4x－x，由f′(x)＝0，得x＝.
21??k－1<2 据题意?解得1≤k<. 2 ??k－1≥0，31，? 答案：??2?2ex ＋ln x?，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的8．已知函数f(x)＝2－k??x?x取值范围为________． x ?e－k??x－2?2xx ?x?xe－2xe21 －2＋x?＝解析：f′(x)＝－k?(x>0)． 4?x?xx2?x－1?eex 设g(x)＝x(x>0)，则g′(x)＝， x2∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ∴g(x)在(0，＋∞)上有最小值，为g(1)＝e， x . . ex 结合g(x)＝与y＝k的图象可知，要满足题意，只需k≤e. x答案：(－∞，e] 1 9．(2018·湘中名校联考)已知函数g(x)＝a－x2≤x≤e，e为自然对数的底数与h(x)＝ en x的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是________． 1? 解析：由题意，知方程x2－a＝2ln x，即－a＝2ln x－x2在??e，e?上有解． 2?x＋1??x－1?2 设f(x)＝2ln x－x2，则f′(x)＝x－2x＝－. x1?易知x∈??e，1?时，f′(x)>0，x∈[1，e]时f′(x)<0， 1?所以函数f(x)在??e，1?上单调递增，在[1，e]上单调递减， 所以f(x)极大值＝f(1)＝－1， 1?1?1?， 又f(e)＝2－e2，f ?＝－2－2，f(e) 1?2所以方程－a＝2ln x－x2在??e，e?上有解等价于2－e≤－a≤－1， 所以a的取值范围为[1，e2－2]． 答案：[1，e2－2] 三、解答题 32 ??－x＋x，x<1， 10．已知函数f(x)＝? ?aln x，x≥1.? (1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值． 解：(1)当x<1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)， 2 令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝. 3 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (－∞，0) － 0 0 极小值 ?0，2? ?3?＋ 2 30 极大值 ?2，1? ?3?－ 2故当x＝0时，函数f(x)取得极小值为f(0)＝0，函数f(x)的极大值点为x＝. 3 2?2 ，1上单调递减，在?0，?上单(2)①当－1≤x＜1时，由(1)知，函数f(x)在[－1,0]和??3??3? .