发布时间 : 星期五 文章山东省日照市2020届高三1月校际联考数学(理)试卷Word版含解析更新完毕开始阅读ad341714fe4ffe4733687e21af45b307e871f93a
收益
20万元 15万元 10万元 7.5万元 若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元，有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36．
(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益； (2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由． 【答案】(1)分布列见解析，14.4万元. (2)当额外聘请工人的成本高于
万元时，不外聘工人：成本低于
万元时，外聘工人：成本恰为
万元
时，是否外聘工人均可以.理由见解析. 【解析】
分析：（Ⅰ）根据基地收益为
万元的概率为
，即基地无雨的概率为0.36，可求出周一无雨的概率为
；根据独立性事件的概率，可求出另外几种情况下的概率。列出基地收益分布列，即可根据公式求
期望来表示其预期收益。 （Ⅱ）周一采摘完的预期收益为出来了
。这时讨论的情况确定是否外聘工人。
，
，，
，
，
。所以和两天采摘相比，收益高
详解：（Ⅰ）设下周一无雨的概率为，由题意，基地收益的可能取值为
.
∴基地收益的分布列为： ，
，
，
，则
，
∴基地的预期收益为万元.
（Ⅱ）设基地额外聘请工人时的收益为万元， 则其预期收益
，
综上，当额外聘请工人的成本高于元时，是否外聘工人均可以.
点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的求法。主要理解题意，正确判断无雨的概率，进而能够求出在各种情况下的概率，求出其分布列，属于简单题。 20.已知抛物线
万元时，不外聘工人：成本低于
万元时，外聘工人：成本恰为
万
（万元），
上在第一象限内的点H(1，t)到焦点F的距离为2． (1)若
，过点M，H的直线与该抛物线相交于另一点N，求
的值；
(其中O为坐标原点)．
(2)设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；
②过点Q作AB的垂线与该抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值． 【答案】(1) (2) ①见证明； ②最小值88 【解析】 【分析】
（1）根据点的坐标和抛物线的定义，求得的值，进而求得抛物线的方程以及点的坐标，由此求得直线
的方程，联立直线
的方程和抛物线的方程，求得点的横坐标，利用抛物线的定义求得
的值.
（2）①设出直线的方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用向量数量积的坐标运算，化简
,由此求得四边形
面积的表达式，
，由此证得直线过定点. ②利用①的结论求得
换元后利用二次函数的单调性来求得四边形
面积的最小值.
【详解】解：（1）∵点故抛物线E的方程为：所以当∴直线
时的方程为
，
，∴，
，解得，
，联立.
可得，，
（2）①证明：设直线联立抛物线方程可得
，
由即②由①得同理得，则四边形
面积得：
，所以直线
，，
，
，解得过定点
或；
.
（舍去），
.
令故当
时，
，则.当且仅当
是关于的增函数，
时取到最小值88.
【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查弦长公式以及四边形面积的求法，属于中档题. 21.设函数(1)若直线(2)令①讨论函数
与曲线
．
的单调性；
，e是自然对数的底数．
相切，求实数a的值；
②若为整数，且当时，恒成立，其中的导函数，求k的最大值．
【答案】(1) 【解析】 【分析】
(2) ①见解析 ②的最大值为2
（1）设出切点坐标，利用斜率和切点的坐标列方程组，解方程组求得的值.（2）①求得求其导数，对分成
，构造函数
【详解】解：(1)由题意知由
，所以
与，解之得，
两类，讨论函数的单调性. ②当，利用导数求得
的表达式并
时，将原不等式分离常数得
的最小值，由此求得的取值范围.
，
相切，设切点为.
的定义域是，
（2）①由题意知函数若若令所以，②由于
在，，
， ，
令
在在当当
单调递增，且
，则，令
，得
，
，所以函数在上单调递增； ，得
.
上单调递增. ，
，令
；
上单调递减，在
，
，
且
，
存在唯一的零点，设此零点为，则时，
时，
；
.