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冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论 信息院1132班 樊列龙 学号：0909113224
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性
质的简单讨论
信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224
有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.
冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：
定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当??0时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：
1?????????(t)?lim???t?????t??? （1-1）
??0???2??2??1τ冲击信号的波形就如1-1(b)所示.
δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A则表示一个冲击
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强度为E倍单位值得函数δ，描述为A=Eδ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E。
(a)?逐渐减小的脉冲函数
(b)冲激信号
图1-1
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。有
????(t)?lim?Sa(kt)? （1-2）
k???k?对式（1-2）作如下说明：
? Sa(t)是抽样信号，表达式为
Sa(t)?其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t随t的增大而减小，sint是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；
sint （1-3） t并且是一个偶函数，当t=±?,±2?, ···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其
图 1-2
零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。t?0时，Sa(t)?1，并且有：
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?因其是偶函数有
?0Sa(t)dt??2
???Sa(t)dt?? （1-4）
由式（1-4）知
???????Sa(kt)d(kt)??? （1-5） ????kSa(kt)dt?1??????k式（1-5）表明，Sa(kt)曲线下的面积为1，且k越大，函数的振幅
???越大，振荡频率越高，离开原点时，振幅衰减越快，当k??时，即得到冲激函数，波形表示如图1-3. 实际上，脉冲函数的选取并不 限于矩形脉冲与抽样函数，其他如三角形脉冲、双边指数脉冲等地极限， 也可以变为冲激函数，作为冲激函 数的定义。相应可以表示为： 三角形脉冲：
?1?|?|??（1-6）??(t)?lim??1???t??????t????? ???0?t????图 1-3
双边指数脉冲：
?1?|?t|??(t)?lim?e?（1-7） ?? ??02???钟形脉冲：
t?2?1???????e???? ?(t)?lim （1-8） ???0?????? - 3 -
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这些脉冲波变为相应的冲激函数，如图1-4(a)、(b)、(c).
（a）三角脉冲 （b）指数脉冲 （c）钟形脉冲
图 1-4
定义二：狄拉克(Dirac)定义.狄拉克给出冲激函数的定义式为
???δ(t)dt?1???-???δ(t)dt?0??t?0 （2-1）
t?0这一定义与上述的脉冲极限的定义式一致的，因此把δ函数称为狄拉克函数。
现给出δ函数三个有用的特性：
性质一：展缩特性.冲击函数是一个高而窄的峰，时间缩放会改变其面积。由于δ(t)的面积为1，时间压缩的冲激信号δ(at)的面积为
1，由于冲激信号δ(at)仍在t=0处发生，所以它可以被看做一个未|a|压缩的冲激
11?(at)，即有?(at)??(at)。 |a||a|由于时间位移不会影响面积的大小，所以有
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