发布时间 : 星期六 文章(新人教A版)2020版高考数学大一轮复习第九章统计第3节变量间的相关关系与统计案例讲义理更新完毕开始阅读ad3dcf4ff9c75fbfc77da26925c52cc58bd69092
C.③④ D.②③
(2)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：
r m 甲 0.82 106 乙 0.78 115 丙 0.69 124 丁 0.85 103 则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性( ) A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
解析 (1)由散点图知③中的点都分布在一条直线附近.④中的点都分布在一条曲线附近，所以③④中的两个变量具有相关关系.
(2)在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大；残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现了A，B两变量有更强的线性相关性. 答案 (1)C (2)D
规律方法 1.散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关.
2.利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强.当残差平方和越小，相关指数R2越大，相关性越强.若r>0，则正相关；r<0时，则负相关.
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3.线性回归直线方程中：b>0时，正相关；b<0时，负相关.
【训练1】 (1)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是( ) A.x与y正相关，x与z负相关 B.x与y正相关，x与z正相关 C.x与y负相关，x与z负相关 D.x与y负相关，x与z正相关
(2)x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________.
①x，y是负相关关系；
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②在该相关关系中，若用y＝c1e
2
则R21>R2；
c2x
拟合时的相关指数为
^^^
2
R1，用y＝bx＋a拟合时的相关指数为
R22，
③x，y之间不能建立线性回归方程.
解析 (1)由y＝－0.1x＋1，知x与y负相关，即y随x的增大而减小，又y与z正相关，所以z随y的增大而增大，减小而减小，所以z随x的增大而减小，x与z负相关.
(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x，y是负相关关系，故①正确；由散点图知用y＝c1e
c2x
2
拟合比用y＝bx＋a拟合效果要好，则R21>R2，故②正确；x，y之间可以建立线性回
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归方程，但拟合效果不好，故③错误. 答案 (1)C (2)①② 考点二 线性回归方程及应用
【例2】 (2019·日照调研)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：
年份x 储蓄存款y(千亿元) 2013 5 表1
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2 012，z＝y－5得到下表2：
时间代号t Z 1 0 2 1 表2
(1)求z关于t的线性回归方程；
(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；
(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？
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2014 6 2015 7 2016 8 2017 10 3 2 4 3 5 5 (附：对于线性回归方程y＝bx＋a，
n^
－
－
其中b＝
i＝1
∑xiyi－nx·y
n2
∑x2i－nxi＝1
－
^
－
^－
，a＝y－bx)
5i＝1
5i＝1
解 (1)t＝3，z＝2.2，∑tizi＝45，∑t2i＝55，
^
－－
b＝
^
45－5×3×2.2
＝1.2，
55－5×9
－
^－
a＝z－bt＝2.2－3×1.2＝－1.4，
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^
所以z＝1.2t－1.4.
^
(2)将t＝x－2 012，z＝y－5，代入z＝1.2t－1.4，
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得y－5＝1.2(x－2 012)－1.4，即y＝1.2x－2 410.8.
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(3)因为y＝1.2×2 022－2 410.8＝15.6，
所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元.
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规律方法 1.(1)正确理解计算b，a的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键.
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－
－
(2)回归直线方程y＝bx＋a必过样本点中心(x，y).
2.(1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测.
(2)对于非线性回归分析问题，应先进行变量代换， 求出代换后的回归直线方程，再求非线性回归方程.
【训练2】 (2018·全国Ⅱ卷)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据
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2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：y＝－30.4＋13.5t；根
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据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：y＝99＋17.5t. (1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.
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解 (1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元).
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
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y＝99＋17.5×9＝256.5(亿元).
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(2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下：
(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利
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用2010年至2016年的数据建立的线性模型y＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 考点三 独立性检验
【例3】 (2019·湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准：
空气污染(0，50] 指数 空气质量优 等级 某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考察了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行(尾号是字母的，前13个视为单号，后13个视为双号).王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05.
良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 (50，100] (100，150] (150，200] (200，300] (300，＋∞)
(1)求频率分布直方图中m的值；
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