发布时间 : 星期三 文章江西省重点中学协作体2019届高三下学期第一次联考数学(理科) Word版含解析更新完毕开始阅读ad6bd09d88eb172ded630b1c59eef8c75fbf95ca
因为点G为△ABC的重心，所以又
，所以
，所以GM∥PF；…3（分）
N为AB中点，P为BC中点，NP∥AC，又AC∥DF， 所以NP∥DF，得P、D、F、N四点共面 ∴GM∥平面DFN…6（分）
（2）平面ABC⊥平面BCDE，AP⊥BC，∴AP⊥平面BCDE，连接PE，易得PE⊥BC，
以P为原点，PC为x轴，PE为y轴，PA为z轴建立空间直角坐标系，
则
，设M（x，y，z），∵
，
因
为
MN
与
CD
所
成
，∴
，
角为，所以
，
得2λ2+λ﹣1=0，∴设平面MBC的法向量平面BCD的法向量
，∴
，则
，…8（分） ，取
，
，所以二面角M﹣BC﹣D的余弦值
…12（分）
20．已知椭圆C：
+
=1（0＜b＜3）的左右焦点分别为E，F，过点F作直
且
线交椭圆C于A，B两点，若（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆O为原点，圆D：（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）与椭圆C交于M，N两点，PN与x轴分别交于点R，S，点P为椭圆C上一动点，若直线PM，求证：|OR|?|OS|为常数．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）设|BF|=m，推导出（6﹣2m）2+（3m）2=（6﹣m）2，从而m=1，进而AE⊥AF．由此能求出椭圆C的方程．
（2）由条件可知M、N两点关于x轴对称，设M（x1，y1），P（x0，y0），则N（x1，﹣y1），直线PM的方程为
，令y=0得点R的横坐标
，同理可得点S的横坐标
|OR|?|OS|为常数．
．由此能证明
【解答】解：（1）设|BF|=m，则|AF|=2m，|BE|=6﹣m，|AE|=6﹣2m，|AB|=3m．
则有（6﹣2m）2+（3m）2=（6﹣m）2，解得m=1，…3（分）
∴|AF|=2，|BE|=5，|AE|=4，|AB|=3， ∴|AB|2+|AE|2=|BE|2，∴AE⊥AF．
于是，在Rt△AEF中，|EF|2=|AE|2+|AF|2=42+22=20， 所以|EF|=2
，所以b2=9﹣（
）2=4，
椭圆C的方程为．…6（分）
证明：（2）由条件可知M、N两点关于x轴对称， 设M（x1，y1），P（x0，y0），则N（x1，﹣y1），
=1，
所以
直线PM的方程为
，
，
．
，…9（分）
令y=0得点R的横坐标，
同理可得点S的横坐标．
于是
=
所以，|OR|?|OS|为常数9．…12（分）
，
21．若?x∈D，总有f（x）＜F（x）＜g（x），则称F（x）为f（x）与g（x）在D上的一个“严格分界函数”． （1）求证：y=ex是y=1+x和y=1+x+（2）函数h（x）=2ex+
在（﹣1，0）上的一个“严格分界函数”；
在X∈（﹣
≈1.260）
﹣2，若存在最大整数M使得h（x）＞
1，0）恒成立，求M的值．（e=2.718…是自然对数的底数，≈1.414，
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）令φ（x）=ex﹣1﹣x，利用导数可得φ（x）在区间（﹣1，0）上为减函数，得到φ（x）＞φ（0）=0，即ex＞y=1+x；令t（x）=ex﹣1﹣x﹣
，由
，
0）=0，对数可得t（x）在区间（﹣1，上为增函数，则t（x）＜t（0）得ex＜1+x+由此可得y=ex是y=1+x和y=1+x+（2）由（1）知h（x）=2ex+=2ex+=
﹣2＜2（1+x+
在（﹣1，0）上的一个“严格分界函数”； ﹣2）+
=
≈0.828．h（x），令m（x）
，求导可得m（x）的最小值，再由导数求得h（x）
在x∈（﹣1，0）上先减后增，可得h（x）最小值的范围，由0.828＜h（x）min＜0.890及h（x）＞
在x∈（﹣1，0）恒成立可得M的值．
【解答】解：（1）证明：令φ（x）=ex﹣1﹣x，φ'（x）=ex﹣1． 当x＜0时，φ'（x）＜0，故φ（x）在区间（﹣1，0）上为减函数， 因此φ（x）＞φ（0）=0，故ex＞y=1+x； 再令t（x）=ex﹣1﹣x﹣
，当x＜0时，t′（x）=ex﹣1﹣x＞0，
故t（x）在区间（﹣1，0）上为增函数，则t（x）＜t（0）=0， ∴ex＜1+x+数”；
（2）由（1）知h（x）=2ex+又h（x）=2ex+令m（x）=由m′（x）=0，解得
﹣2＜2（1+x+
﹣2）+
=
，
， 单调递减，≈0.828．
，故y=ex是y=1+x和y=1+x+
在（﹣1，0）上的一个“严格分界函
，m′（x）=2（x+1），可得m（x）在
在单调递增，
则．