发布时间 : 星期一 文章函数一致连续的判别方法及其应用更新完毕开始阅读adbfd19bf121dd36a32d82ba
第四章 函数一致连续的应用
（3）（对数函数）f(x)?lnx在(01) ，上非一致连续，在[1,+?)上一致连续。
例15： f(x)?lnx在(01) ，上非一致连续，在[1,+?)上一致连续。11证明：考虑xn?,xn'?，则当0??0?ln2时，不论?如何选取，只要n充分大，
n2n我们总可以使|xn?xn'|?1??，但是|f(xn)?f(xn')|?ln2??，因而f(x)在2n区间(0,1)非一致收敛。
但在区间[1,+?)上，f(x)?lnx在点1处最陡，且
?f(?)?1?1?0(??0?). 1??可见，f(x)?lnx在[1,+?)上一致连续.
（4）（三角函数）y?sinx和y?cosx均在R上一致连续，y?tanx和y?cotx均在其定义
域上非一致连续。
例16： 证明函数f(x)?cosx在?0,???上一致连续。
证明：由于对???0,?L?2，使得?x?,x????0,???，都有
cosx??cosx???x??x???2x??x??，
即f(x)?cosx在?0,???上满足Lipschitz条件。
所以函数f(x)?cosx在?0,???上一致连续。
例17：证明y?sinx在R的一致连续
x1?x2??时 证明：???0,?x1,x2?R，要使得：f?x1??f?x2??sinx1?sinx2?2cosx1?x2x?x2sin1 22?2sinx1?x2?x1?x2??成立，只需???即可 217
广东石油化工学院本科毕业论文：函数一致连续的判别方法及其应用 （5）（反三角函数）y?arcsinx和y?arccosx均在[?1,1]上一致连续，y?arctanx和
y?arccotx均在(??,??)上一致连续。例18：证明f(x)?arctanx(???x???)一致连续。
证明：由于f(x)在区间(??,1]，[0,??)上连续，且有
limarctanx??2x???，limarctanx??x????2，
由已知f(x)在(??,1]及[0,??)上均一致连续。于是，对于任给??0，存在
?1(?)?0，当x1,x2?(??,1]，|x1?x2|??1(?)时，恒有|f(x1)?f(x2)|??成立。 又存在?2(?)?0，当x1,x2?[0,??)，|x1?x2|??2(?)时，恒有|f(x1)?f(x2)|??成立。
今取?(?)?min{1,?1(?),?2(?)}，则当x1,x2?(??,??)，|x1?x2|??(?)时，x1与x2必或同时属于(??,1]，或同时属于[0,??)，故恒有|f(x1)?f(x2)|??，即f(x)在
(??,??)上一致连续。
p(x)?0xn??1xn?1????n?,其中n,m为非负整数，（5）（有理函数）R(x)? q(x)?0xm??1xm?1????nR(x)在[a,+?) ?0，?1??n，?0，?1??n均为常数，且?0?0,?0?0。当n?m?1时，
上一致连续；当n?m?1时，R(x)在[a,+?)上非一致连续。（其中
??max{x,q(x)?0})。
4.2应用之三：反函数的一致连续性的应用
由于反函数仍然是一个函数，只是其函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。所以我们仍然可以采取前面讨论一致连续的条件的方法。 （1） 有限区间上的一致连续函数的反函数必一致连续。 （a） 闭区间?a,b?上的一致连续函数的反函数仍然一致连续。
证明：因为f?x?在区间?a,b?一致连续，不妨设f?a??f?b?，由于具有反函数的函数必
然单调?f?1?x?在区间?f?a?,f?b??连续。
有定理1可得：f?1?x?在区间?f?a?,f?b??一致连续。
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第四章 函数一致连续的应用
（b）开区间?a,b?上的一致连续函数的反函数一致连续。 证明： ?f?x?在区间?a,b?一致连续，
?limf?x?与limf?x?存在，不妨分别设为A与B。
x?a?0x?b?0?存在反函数的函数必然单调，所以不妨设A?B。
?fy?A?1?y?在开区间?A,B?有定义，且
?1limf?y??a,limf?1?y??b
y?B由定理2可得：f?1?y?在开区间?A,B?一致连。 综合以上两个结论可得
结论1：有限区间上的一致连续函数的反函数必一致连续。
（2） 函数f?x?在区间?a,???上一致连续，如果limf?x?存在，则函数f?x?的反函数
x???不一致连续。
（3） 若无穷区间?a,???上的一致连续函数的导函数在无穷远点的极限limf??x??0
x??则其反函数在无穷区间?a,???上不一致连续。若limf??x??0则其反函数在无穷
x??区间?a,???上一致连续。
例19：证明：若函数f(x)在域a?x???上有定义并且是连续的，而且limf(x)存在，
x???则f(x) 在此域上是一致连续的。
证明：任给??0，由于limf(x)存在，故必存在X?a，使当x'?X，x\?X时，
x???恒有|f(x')?f(x\)|??，由于f(x)在[a,X?1}连续，故一致连续，从而必有正数?'存在，使当x'?[a,X?1}，x\?[a,X?1}，|x'?x\|??'时，恒有
|f(x')?f(x\)|??，
令??min{?',1}。现设x'，x\为满足a?x'???，a?x\???，|x'?x\|??的任何两点。由于|x'?x\|??故x'与x\或同时属于[a,X?1}，或同时满足x'?X，
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广东石油化工学院本科毕业论文：函数一致连续的判别方法及其应用 x\?X。因此，恒有|f(x')?f(x\)|??，故f(x)在a?x???上一致连续。
（4）无穷区间上的一致连续函数的反函数的一致连续性。
由于无穷区间有如下五中情况：???,???,???,a?,???,a?,?b,???,?b,??? 因此我们主要讨论最有代表性的区间?a,???（a?0）上的情况，其余四种情况可以类似得出相应结论。
由前面一致连续的条件的讨论可知区间?a,???上的一致连续函数可以分为两类。 第一类： limf?x?与limf?x?都存在，不妨设limf?x?=A, limf?x?=B。
x?a?0x???x?a?0x????存在反函数的函数必然单调，所以不妨设A?B。
?fy?A?1?y?在开区间?A,B?有定义，且
?1limf?y??a,limf?1?y???
y?B所以有
结论2：函数f?x?在区间?a,???上一致连续，如果limf?x?存在，则函数f?x?的反函数
x???不一致连续。
为帮助理解上面的结论，举例如下：
例20：f?x??arctanx在?0,???一致连续，且limf?x??x????2所以其反函数f(x)?tanx在
????0,? 不一致连续。 ?2?第二类：limf?x?存在而limf?x?不存在时，limf?x?不存在有两种情形，一种是x趋
x?a?0x???x???向于无穷时，函数f?x?的图像上下波动，函数的变化趋势不确定而造成无极限。由于具有反函数的函数必然单调，所以此种情况可排除，仅讨论第二种情况即
limf?x???
x??此时函数f?x?满足limf??x?存在(由结论1可得)，即f??x?有界。
x??根据法则：反函数的导数等于原函数导数的倒数。
?当limf??x??0时，可设limf?x??c?c为常数?所以limf?1?y???因此有如下
x??x??y?c??结论：
结论3：若无穷区间?a,???上的一致连续函数的导函数在无穷远点的极限limf??x??0
x??20