发布时间 : 星期四 文章[配套K12]2018版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间几何体的表面积与体积 理更新完毕开始阅读adec5f72162ded630b1c59eef8c75fbfc77d9494
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第八章 立体几何 8.2 空间几何体的表面积与体积 理
1．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式
3.柱、锥、台和球的表面积和体积
名称 几何体 柱体 (棱柱和圆柱) 锥体 (棱锥和圆锥) 台体 (棱台和圆台) 球
【知识拓展】
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2．几个与球有关的切、接常用结论 教育配套资料K12
表面积 S圆锥侧＝πrl S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 体积 S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 13S表面积＝S侧＋S底 13V＝Sh V＝(S上＋S下＋S上S下)h S表面积＝S侧＋S上＋S下 S＝4πR2 V＝πR3 43教育配套资料K12
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝3a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a＋b＋c. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( × ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( × )
(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( √ ) (5)长方体既有外接球又有内切球．( × )
(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × )
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1．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) A．1 cm C．3 cm 答案 B
解析 S表＝πr＋πrl＝πr＋πr·2r＝3πr＝12π， ∴r＝4，∴r＝2 cm.
2．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )
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B．2 cm 3
D. cm 2
A．90 cm C．132 cm 答案 D
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B．129 cm D．138 cm
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解析 该几何体如图所示，长方体的长，宽，高分别为6 cm,4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm,4 cm，5 cm，所以表面积S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]12
＋(5×3＋4×3＋2××4×3)＝99＋39＝138(cm)．
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3．(2016·全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( ) A．12π C．8π 答案 A
解析 由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线23即为球的直径，所以球的表面积为4πR＝(2R)π＝12π，故选A.
14．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2 000斛(1丈＝10
3尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为( ) A．1丈3尺 C．9丈2尺 答案 B
解析 设圆柱底面半径为r尺，高为h尺，依题意，圆柱体积为V＝πrh＝2 000×1.62≈3×r×13.33，所以r≈81，即r≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr≈54,54尺＝5丈4尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B.
5．(2016·成都一诊)如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为________．
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32B.π 3D．4π
B．5丈4尺 D．48丈6尺
答案 1∶1
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解析 由三视图可知半球的半径为2，圆锥底面圆的半径为2，高为2，所以V圆锥＝×π×2
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＝π，V半球＝×π×2＝π，所以V剩余＝V半球－V圆锥＝π，故剩余部分与挖去部分的体32333
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教育配套资料K12 积之比为1∶1.
题型一 求空间几何体的表面积
例1 (1)(2017·淮北月考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )
A．21＋3 C．21
B．18＋3 D．18
(2)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________． 答案 (1)A (2)12
解析 (1)由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为 132
6×(4－)＋2××(2)＝21＋3.故选A.
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(2)设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′. 11
由题意，得×6××2×3×h＝23，
32∴h＝1， ∴斜高h′＝1＋
2
3
2
＝2，
1
∴S侧＝6××2×2＝12.
2
思维升华 空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位教育配套资料K12