发布时间 : 星期二 文章[配套K12]2018版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间几何体的表面积与体积 理更新完毕开始阅读adec5f72162ded630b1c59eef8c75fbfc77d9494
教育配套资料K12 置关系及数量．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
(2016·大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为
________．
答案 26
解析 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S＝S长方体表－2S半圆柱底－S圆柱12
＋S＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×1－2×1＋×2π×1＝26. 轴截面半圆柱侧
2题型二 求空间几何体的体积
命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积
例2 (2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
12
A.＋π 3312
C.＋π 36答案 C
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12B.＋π 33D．1＋2π 6
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2
，四棱锥为正四棱锥，它的底面边长为1，高为1，∴V2
解析 由三视图知，半球的半径R＝
1142?2?31
＝×1×1×1＋×π×??＝＋π，故选C. 323?2?36命题点2 求简单几何体的体积
例3 (2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________． 答案
7
121222
解析 设新的底面半径为r，由题意得πr·4＋πr·8＝π×5×4＋π×2×8，解得r33＝7.
思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
(1)(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的
正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．
(2)如图，在多面体ABCDEF中，
已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( ) A.
2343
B. C. D. 3332
3
(2)A 3
答案 (1)
解析 (1)由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得俯视图(如
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1113
图)，且三棱锥高为h＝1，则体积V＝Sh＝×(×23×1)×1＝. 3323
(2)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，
CH，容易求得EG＝HF＝，AG
＝GD＝BH＝HC＝3
， 2
12
122
∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，
224
12122
∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝×××2＋×1＝.故选A.
34243
题型三 与球有关的切、接问题
例4 已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，
AA1＝12，则球O的半径为( )
A.317
2
B．210 D．310
13C. 2答案 C
解析 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，
则垂足为BC的中点M. 15
又AM＝BC＝，
22
OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝
1252
2
132
＋6＝.
2
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教育配套资料K12 引申探究
1．已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r. 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 4433
从而V外接球＝πR＝π×(23)＝323π，
33
V内切球＝πr3＝π×23＝
434332π
. 3
2．已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？
解 正四面体的表面积为S1＝4·
3122
·a＝3a，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝44
2
2
166πaS13a632
·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr＝，则＝＝. 43126S2πa2π
63．已知侧棱和底面边长都是32的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？ 解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为 ＝3，
因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.
思维升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，
2
2
－
1
2
2
PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
(2016·全国丙卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球．若
AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
9π32π
A．4π B. C．6π D.
23答案 B
解析 由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V9π
的最大值为.
2
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