发布时间 : 星期四 文章[配套K12]2018版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间几何体的表面积与体积 理更新完毕开始阅读adec5f72162ded630b1c59eef8c75fbfc77d9494
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15．巧用补形法解决立体几何问题
典例 (2016·青岛模拟)如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且
AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，则此几何体的体积为________．
思想方法指导 解答本题时可用“补形法”完成．“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”，将不规则的几何体补成规则的几何体等． 解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝111
V三棱柱＝×S△ABC×AA′＝×24×8＝96. 222
答案 96
1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
π3π5π
A．4＋ B．4＋ C．4＋ D．4＋π
222答案 C
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解析 由题意可知，几何体的体积为圆柱的体积加长方体的体积再减去与长方体等高的圆柱115π22
的体积的，即π·1·3＋2·2·1－π·1·1＝4＋. 222
2．(2016·大同模拟)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )
A.
＋π3＋π3
3
B.
＋π6
3
C.
3
D．(4＋π)3
答案 B
解析 由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组成的，其中半圆锥的底面半径1?1?为1，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，它们的高均为3.则V＝·?π＋4?·3＝3?2?＋π
6
3
.故选B.
π
3．(2015·山东)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD2所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.
2π4π5π
B. C. D．2π 333
答案 C
解析 过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V115π222
·π·CE·DE＝π×1×2－π×1×1＝，故选C. 333
圆柱
－V圆锥
＝π·AB·BC－
2
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4．(2015·安微)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )
A．1＋3 C．1＋22 答案 B
解析 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，∴该四面体的表面积132
为S表＝2××2×1＋2××(2)＝2＋3，故选B.
24
B．2＋3 D．22
5．(2016·广东东莞一中、松山湖学校联考)某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是( )
201016
A.π B．6π C.π D.π 333答案 C
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111
解析 该几何体是由半个圆柱和半个圆锥构成的组合体，所以V＝×π×4×1＋×
22310
×π×4×2＝π.故选C.
3
6．(2016·福建三明一中第二次月考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为( )
A.2 B.答案 A
解析 由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为1，则正方形的边长为2.∵ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1，∴BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝1.∴侧面ABB1A1的面积为2×1＝2.故选A.
7.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和为________．
2
C．2 D．1 2
5答案 π
6
解析 由题意，图中弧EF为过球心的平面与球面相交所得大圆的一段弧，因为∠A1AE＝∠BAFππππ
＝，所以∠EAF＝，由弧长公式知弧EF的长为2×＝.弧FG为不过球心的平面与球6663面相交所得小圆的一段弧，其圆心为B，因为球心到平面BCC1B1的距离d＝3，球的半径R＝πππ22
2，所以小圆的半径r＝R－d＝1，又∠GBF＝，所以弧FG的长为1×＝.故两段弧长
2225π
之和为. 6
8．(2016·新疆乌鲁木齐地区二诊)已知四面体ABCD满足AB＝CD＝6，AC＝AD＝BC＝BD＝2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________． 答案 7π
解析 (图略)在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连接AE，BE.∵AC＝AD＝BC＝BD＝2，教育配套资料K12