发布时间 : 星期三 文章《数学分析选讲》第三次主观题作业更新完毕开始阅读aed055735b0102020740be1e650e52ea5518ce35
《数学分析选讲》 第三次主观题 作业
一、判断下列命题的正误
1. 若函数f(x)在点x0处的左、右导数都存在，则f(x)在x0处必连续. （正确） 2. 若f(x)在x0处可导，则f(x)在x0处可微．（正确）
3. 若两个函数在区间I上的导数处处相等,则这两个函数必相等. （正错） 4. 若f(x)是可导的偶函数，则f?(0)?0. （正确）
5．若x0?(a,b)是f(x)的导函数的间断点，则x0是f?(x)的第二类间断点. （正确）
二、选择题
1．设f是奇函数，且limx?0f(x)?0， 则 （ A ） xA y?f(x)在x?0的切线平行于x轴； B x?0是f的极大值点； C x?0是f的极小值点； D y?f(x)在x?0的切线不平行于x轴 2．设 f(x)?(x?a)?(x)，其中?(x)在x?a处连续但不可导，则f?(a)?（ B ） A ?(a)； B ??(a) ； C ???(a) ； D 不存在 3．设f可导，则 df(secx)? （ B ）
A f?(secx)secxdx； B f?(secx)secxtanxdx；
2C f?(secx)secxdx； D f?(secx)tanxdx
24．设函数f(x)可导且下列极限均存在，则不成立的是（ B ）
f(x0?2h)?f(x0)f(x)?f(0)?f?(0) ； B lim?f?(x0)；
x?0h?0xhf(x0?h)?f(x0?h)f(x0)?f(x0?h)C lim?f?(x0) ； D lim?f?(x0)
h?0h?02hhA lim5．设f(x)?xlnx，且f?(x0)?2A
， 则f(x0)?（ C ）
2e ； B ； C e ； D 1 e2f?x?6. 已知y?eA e
f(x) ，则y??=（ C ）
f(x)2f(x)f?x?f??(x)； B e ； C e{[f?(x)]?f??(x)} ； D e[f?(x)?f??(x)]
7．下列结论中正确的有（ D ）
A 如果点x0是函数f(x)的极值点，则有f?(x0)?0； B 如果f?(x0)?0，则点x0必是函数f(x)的极值点； C 函数f(x)在区间(a,b)内的极大值一定大于极小值；
D 如果点x0是函数f(x)的极值点，且f?(x0)存在， 则必有f?(x0)?0
f2(x?h)?f2(x)?（ D ） 8．设f(x)可导，则limh?0hA f?(x) ； B 2f?(x) ； C 0 ； D 2f(x)f?(x)
三、计算题
1．已知y?x2?1?ln(x?x2?1)，求y?
1?2xxx?1222x?1?解：y???2x2?1x?x2?12x?1x?12?x?1x?12
2．设y?x1?x2?arcsinx，求y?.
?x2x?13．设f(x)??，试确定a，b的值，使f在x?1可导.
ax?bx?1?解：要使f在x?1可导，f在x?1必连续，于是必左连续.
x?1?limf(x)?lim?(ax?b)?a?b?f(1)?1，从而b?1?a.
x?1f(x)?f(1)x2?12?lim??2. f在x?1的右导数f??(1)?lim?x?1x?3x?1x?1f(x)?f(1)ax?b?12ax?1?a?1?lim??lim??a， 左导数为f??(1)?lim?x?1x?1x?1x?1x?1x?1只要a?2，则f在x?1的左导数与右导数相等，从而可导。这时b??1.
4．用洛比塔法则求极限 lim(x?011?x) xe?11?ex?1?xex?1ex?1?limx?limx解：lim??x ??limxxxx?0xx?0x?0x?0e?1?x(e?1)e?1?xe2e?xe?11?lim?. x?02?x2
四、证明题
x31．证明： 当x?(0,) 时，tanx?x? .
33?x3证： 设f(x)?tanx?x?，则f在x?0连续，且f(0)?0.
3因为f?(x)?secx?1?x?tanx?x?0，x?(0,故f在(0,2222?3)，
?3)严格单调递增，又因f在x?0连续，于是f(x)?f(0)?0，
x3?从而tanx?x?，x?(0,).
332．证明： 当x?0 时，e?1?x .
证明：f(x)=e?1?x
xxf/(x)?ex?1
x?0 则ex＞1 所以x?0时f(x)是增函数
所以x?0时
xf(x) ＞f?0?
所以e?1?x＞0
所以x?0 时，e?1?x
x