发布时间 : 星期三 文章中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第5章课后习题详解更新完毕开始阅读aee31905a6c30c2258019e00
证明：因为
f(x)?1,于是对任意的分法，有
n
?badx?lim?1??xi?lim(b?a)?b?a.
??0i?1??0★2.估计下列各积分的值:
(1)
?41(x2?1)dx
知识点：定积分性质
思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围 解：因为x及x?1在区间[1,4]上单调递增，故 2?x2?1?17,x?[1,4]，
而区间长度b?a 即6?(2)
22?4?1?3， 所以2?3?6??(x2?1)dx?17?3?51.
14?41(x2?1)dx?51
?10exdx
2知识点：定积分性质
思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围 解：记f(x)?ex，先求出f(x)在?0,1?上的最值，
2由于
f?(x)?ex?2x?2xex?0,x??0,1?, 所以f(x)在?0,1?上单调增加，
22因此 minx??0,1?f(x)?f(0)?e0?1,maxf(x)?f(1)?e1?e，即1?f(x)?e，
x??0,1?再由定积分的性质，得： 1??101dx??exdx??edx?e
00121(3)
?313xarctanxdx
知识点：定积分性质
思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围 解：记f(x)?xarctanx,x?[13,3]，
因为
f?(x)?arctanx?x1,3), 所以f(x)在?1,3?单调增加 ?0,x?(??331?x2?? ?m?minf(x)?f(113?)?arctan?,
363333?, 3 M?minf(x)?f(3)?3arctan3?31?1?(3?)??1xarctanxdx?(3?),
633333? 即
?9??1xarctanxdx?332?3
(4)
?21xdx
1?x2知识点：定积分性质
思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围 解：令
x1?x2f(x)?,因为当1?x?2时，f?(x)??0, 221?x2(1?x) 所以函数
f(x)在区间?1,2?上单调减少，因此 f(x)min??2?1?1,
2211?,f(x)??, max1?2251?122 区间长度b?a 所以
22x1??dx?. 2151?x2(5)
??20xexdx
知识点：定积分性质
解：令f(x)?xex,因为当?2?x?0时，f?(x)?(1?x)ex,驻点为x??1,
f(?2)??2e?2,f(?1)??e?1,f(0)?0,所以 f(x)min??2,f(x)max?0, e2 所以 0?★★3.设
??20xexdx?4. e2f(x)及g(x)在?a,b?上,连续,证明:
ba(1)若在
?a,b?上, f(x)?0,且?f(x)dx?0,则在?a,b?上, f(x)?0;
知识点：定积分性质
思路：用反证法，通过定积分的估值不等式得到矛盾结论来证明 证明：设x0?(a,b)，但f(x0)?0，不妨设f(x0)?0，
∵
f(x)在x0处连续，∴limf(x)?f(x0)?0，
x?x0 由极限的保号性：?(x0从而 ∴
??,x0??)?(a,b)，使当x?(x0??,x0??)时， 有f(x)?0，
bbaa?x0??x0??f(x)dx?0??f(x)dx?0，与条件?f(x)dx?0矛盾！
f(x)?0 ， x?(a,b)，
同理可证：当x?a或x 所以
?b时，f(a)?0,f(b)?0
f(x)?0，x?[a,b]
(2)若在
?a,b?上, f(x)?0,且f(x)?0,则?f(x)dx?0;
abb知识点：定积分性质
思路：反证法和(1)的结论来求证 证明：因为f(x)?0(x??a,b?)，所以
而
?af(x)dx?0，
?baf(x)dx是数值，它仅有零或非零两种可能
b若设从而(3)若在
??abf(x)dx?0，则由上面已证，在上必有f(x)?0， 这与题设f(x)?0矛盾， f(x)dx?0.
上,
a?a,b?f(x)?g(x),且?f(x)dx??g(x)dx,则在?a,b?上, f(x)?g(x).
aabb知识点：定积分性质
思路：由定积分性质和(1)结论求证
证明：设F(x)?f(x)?g(x),x?[a,b]，则由题设可知：F(x)?0,x?[a,b]
又因为
?baF(x)dx??f(x)dx??g(x)dx?0，
aabb 由(1)得，F(x)?
f(x)?g(x)?0，从而
f(x)?g(x),x?[a,b]
★★4.根据定积分性质比较下列每组积分的大小:
(1)
?10xdx，?x3dx
021知识点：定积分性质
思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小 解：当x?(0,1)时，x?x，即x?x?0.?(2)
3223?10(x?x)dx?0??xdx??x3dx
0023121?edx，?e001x1x2dx
知识点：定积分性质
思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小 解：因为当x?(0,1)时，x?x，故e?e.因此：
(3)
2xx2?10exdx??exdx
012?edx，?(x?1)dx
001x1知识点：定积分性质
思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小 解：令f(x)?ex?(1?x)，则f?(x)?ex?1?0，x??0,1?，
且仅当x ??0时，f?(0)?0，所以在?0,1?上，f(x)单调增加
f(x)?ex?(1?x)?0?f(0),即ex?(1?x)
又因为在
?0,1?上，ex?(1?x)，即f(x)不会恒为0.
10 所以
?10f(x)dx??[ex?(1?x)]dx?0,
即
?10exdx??(x?1)dx
01(4)
??20?xdx，?2sinxdx
0知识点：定积分性质
思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小 解：令f(x)?x?sinx，则f?(x)?1?cosx?0,x??0,???. ?2?? 且仅当x???
?0时，f?(0)?0，故在?0,?上，f(x)单调增加
?2?
????
f(x)?x?sinx?0?f(0),即x?sinx, 又在?0,?上，x?sinx，即f(x)?0,
?2?
?? ?0?220xdx??2sinxdx
0?20(5)
??sinxdx，??sinxdx
知识点：定积分性质
思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小 解：当x???0???,0?，sinx?0，从而??sinxdx?0；
??2?2??? 又当x?0,，sinx?0，从而?2sinxdx?0
??0?2? 所以
???sinxdx???2010?20sinxdx
(6)
?01ln(1?x)dx，?xdx 1?x