发布时间 : 星期三 文章中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第5章课后习题详解更新完毕开始阅读aee31905a6c30c2258019e00
③若
x???lim1f(x)?limxpf(x)???，该式表明：f(x)是比px???1xxp??a低阶的无穷小（
， p?0）
则当
p?1时，?f(x)dx发散。
??a因此对非负函数
f(x)，?f(x)dx的敛散性和f(x)当x???时趋于0的速度密切相关。
解:
ln2xf(x)?2?f(x)?0 (1?x???),
xln2x122lnx2lnxx?lim1?lim1?4limx1 ∵ limx???x???x???1x2x???x22x2x32
2 ?8x???lim1?0. x2??lnx3dx收敛. 又 p??1,l?0,故无穷积分?212x(2)
???1sin1dx 2x知识点：无穷限广义积分的敛散性
11?，由比较审敛原理（推论1）知 x2x2??1 ?sin2dx (p?2?1)收敛
1x12（或解为：∵limxsin2?1，又p?2?1，∴原广义积分收敛）
x???x解:因为0?sin(3)
?lnxdx
0x?a?01知识点：无界函数广义积分的敛散性
思路：由无界函数广义积分的比较极限审敛原理：对非负函数f(x)，满足limf(x)???，
① 若
f(x)?lim(x?a)qf(x)?l?0
x?a?0x?a?01(x?a)qlim则当0?q?1时，②若l?baf(x)dx收敛，当q?1时，?f(x)dx发散。
abab?0，则当0?q?1时，?f(x)dx收敛
③若
bf(x)?lim(x?a)qf(x)???，则当q?1时，?f(x)dx发散。
ax?a?0x?a?01(x?a)qlim解:只需考察
?(?lnx)dx的敛散性，x?0是被积函数的瑕点，
011?lnxx?lim2x?0，又q?1?1,l?0, 由lim?limx?0?1x?0?1x?0?22x3/2x故瑕积分
22?lnxdx收敛.
01(4)
?dxx?3x?213
解:该瑕积分有两个瑕点x?1与x?2,设a?(1,2),则
?22dxx?3x?213??133a2dxx?3x?213??22dxx?3x?2a3,
因为
x?1?0lim[(x?1)1x2?3x?2]?lim1?1.
x?1?03(x?2)收敛.
adx1?1,故瑕积分? 这里q?3132x?3x?2 又
x?2?0lim[(x?2)1331x2?3x?2]?lim1?1.
x?2?03(x?1)也收敛,
adx1?1,故瑕积分? 这里q?3132x?3x?2 从而题设瑕积分收敛.
(5)
???0x2lnxdx
x4?x3?132243解: 设y?x?x?1，由y??4x?3x?x(4x?3)?0?x?3， 433343时，y??0；x?时，y??0，∴x?是y?x?x?1的极小点， 444343又∵y()?0，∴y?x?x?1?0, (x?0)
4∵x?x2lnxlnxx?12?limxlnx?lim?lim?0 又因为lim4x?0x?x3?1x?0x?0x?2x?0?2x?3∴
???0x2lnxdx仅为无穷限的广义积分，
x4?x3?13/2∵limxx??x2lnxlnxx?1?lim?lim?0
x4?x3?1x??x1/2?x?1/2?x?7/2x??1x?1/2?1x?3/2?7x?9/2222??3x2lnxdx收敛. 又p??1,∴ ?0x4?x3?12★★2．讨论
???0xmdx(m?0,n?0)的敛散性. n1?x知识点：无穷限广义积分的敛散性 解:
xm1f(x)??,当x充分大时,
1?xnxn?m?1,limxx???n?m 若n?mf(x)?1,则?f(x)?1,则???0xmdx收敛. n1?xxmdx发散.
1?xn 若n?m★★★3．计算
?1,limxx???n?m??0(1)
?(7)
2?(4)?(3)?(7)6!??30;
2?(4)?(3)2?3!?2!解:
3?(3)?()2 (2)
9?()21解: ∵?()??，?(s?1)?s?(s)
233?(3)?()2!?()162?2∴?;
97533105?()????()22222(3)
???0??x4e?xdx
x4e?xdx??(5)?4!?24;
解:
?0(4)
???0x2e?2xdx
x?2解:
?0??0xe2?2x2dx?t242?01??tedt?12?t3??()?. 422821★★4．用
?函数表示下列积分,并指出积分的收敛范围:
n(1)
???e?xdx(n?0)
解:用换元法将积分化为?函数.
1?1?1????1111?xn?n1nnudu??(). 令x?u?x?u,dx?udu, 则?edx??e00nnnnn1n 此处当s?p1?0,即n?0时,该?函数表示的积分收敛,故题设广义积分收敛. n1(2)?(ln)dx
0x1解:令u?ln1p1?u?u,则x?e,dx??edu, x0??1p?u(p?1)?1?u(ln)dx??uedu?uedu??(p?1) ?0x????0 当s?p?1?0,即p??1时,题设积分收敛.
(3)
?????1e2??x22dx
22解:
??????0??1?x21?x21?x2edx??edx??edx
??02?2?2?2??01e2??x22dx????011?t1?1e2?t2dt?22?2?2???0etdt??t?12111?()?. 2?22
?0????1?x2x??t01?t21?t21edx??ed(?t)??edt?.
??022?2?2?22 所以
?????1e2??x22dx?1.
12★★5．证明： ??(2n)?22n?1?(n)?(n?)
证明：左式??(2n?1)!