发布时间 : 星期日 文章2016-2017学年江苏省扬州市高三(上)期末数学试卷及答案更新完毕开始阅读af8820f3ac51f01dc281e53a580216fc710a5349
令q′(x)>0,解得:0<x<令q′(x)<0,解得:x>故q(x)max=q(∴e?
>
,
,
)=e2, ,
故命题得证.
21.已知a,b∈R,若点M(1,2)在矩阵A=(2,﹣7),求矩阵A的特征值. 【考点】特征值与特征向量的计算.
【分析】先求出矩阵A,再利用矩阵A的特征多项式f(λ)=(λ﹣5)=0,求矩阵A的特征值. 【解答】解:由题意得∴A=
,
=(λ﹣3)(λ﹣5),
=
,∴
,∴a=4,b=1,
=(λ﹣3)
对应的变换作用下得到点N
∴矩阵A的特征多项式f(λ)=由f(λ)=0,可得λ=3或5.
22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),
以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为θ=
,试求直线l与曲线C的交点的直角坐标.
【考点】参数方程化成普通方程.
【分析】将两方程化为普通方程,联立,即可求出直线l与曲线C的交点的直角坐标.
【解答】解:直线l的极坐标方程为θ=方程为
,直角坐标方程为y=x,曲线C的参数
(α为参数),普通方程为y=2﹣x2(﹣1≤x≤1),
联立方程可得x2+x﹣2=0,∴x=1或x=﹣2(舍去), ∴直线l与曲线C的交点的直角坐标为(1,1).
23.为了提高学生学习数学的兴趣,某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程,甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习,假设三人选择课程时互不影响,且每一课程都是等可能的.
(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率;
(2)设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数,求X的分布列和数学期望E(X).
【考点】离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量及其分布列.
【分析】(Ⅰ)根据分步计数原理总事件数是43,满足条件的事件数是A43,利用古典概率计算公式即可得出.
1,2,3.P(Ⅱ)设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数,则X=0,(ξ=0)=
;P(ξ=1)=
;P(ξ=2)=
;P(ξ=3)=
,即可得出.
【解答】解:(Ⅰ)根据分步计数原理总事件数是43,满足条件的事件数是A43,
∴3个学生选择了3门不同的选修课的概率:P1==
(Ⅱ)设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数,则X=0,1,2,3. P(X=0)=
=
;
P(X=1)==;
P(X=2)=P(X=3)=
=
=.
;
∴X的分布列为:
X P ∴期望Eξ=0×
+1×
0 1 2 3 ++3×=.
24.已知Fn(x)=(﹣1)0Cn0f0(x)+(﹣1)1Cn1fi(x)+…+(﹣1)nCnnfn(x),(n∈N*)(x>0),其中,fi(x)(i∈{0,1,2,…,n})是关于x的函数. (1)若fi(x)=xi(i∈N),求关于F2(1),F2017(2)的值; (2)若fi(x)=
(i∈N),求证:Fn(x)=
(n∈N*).
【考点】函数的值.
【分析】(1)由fi(x)=xi(i∈N),求出Fn(x)=(1﹣x)n,由此能求出F2(1)和F2017(2). (2)由fi(x)=
(i∈N),知Fn(x)=
,(n∈N*),由此利
(n∈N*).
用数学归纳法能证明Fn(x)=
【解答】解:(1)∵fi(x)=xi(i∈N),
∴Fn(x)=(﹣1)0Cn0x0+(﹣1)1Cn1x1+…+(﹣1)nCnnxn=(1﹣x)n, ∴F2(1)=(1﹣1)2=0, F2017(2)=(1﹣2)2017=﹣1. 证明:(2)∵fi(x)=
(i∈N),
,
0011nn
=Cnf(CnfCnf(=∴F((﹣1)+(﹣1)(+…+(﹣1)nx)0x)ix)nx)
(n∈N*),
①当n=1时,Fn(x)=
=1﹣
=
,∴n=1时,结论成立;
②假设n=k时,结论成立,即Fk(x)=
=,
则当n=k+1时,Fk+1(x)=
=1++(﹣1)
=+
=
=
=
=====
∴n=k+1时,结论也成立. 结合①②知Fn(x)=
﹣
,
(n∈N*).