发布时间 : 星期二 文章§13.1函数列与函数项级数一致收敛性解析更新完毕开始阅读afbfe60fbf23482fb4daa58da0116c175f0e1eed
第十三章 函数列与函数项级数
§1 一致收敛性
(一) 教学目的：
掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (二) 教学内容：
函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． 基本要求：
1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致 收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．
(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．
2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌
握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。
3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判
别及应用。
(三) 教学建议：
(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项
级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．
(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．
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一 函数列及其一致收敛性
对定义在区间I上的函数列{fn(x)},x?E，设 x0?E，若数列 {fn(x0)}收敛，则称函数列{fn(x)}在点x0收敛，x0称为函数列{fn(x)}收敛点；若数列 {fn(x0)}发散，则称函数列{fn(x)}在点x0发散。
使函数列{fn(x)}收敛的全体收敛点集合称为函数列{fn(x)}收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。
若函数列{fn(x)}在数集D?E上每一点都收敛，则称函数列{fn(x)}在数集D上收敛，这时D上每一点x，都有函数列的一个极限值
limfn(x)?f(x)
n??与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列{fn(x)}的极限函数。
逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“??N”定义.
n 例1 对定义在( ?? , ?? )内的等比函数列fn(x)?x, 用“??N”定义
验证其收敛域为( ?1 , 1 ], 且 limfn(x)? limx??n??n??例2 fn(x)?n|x| ? 1 ,? 0 , x?1 .? 1 , sinnx. 用“??N”定义验证在( ?? , ?? )内limfn(x)?0.
n??n函数列的一致收敛性：
设函数列 {fn(x)}在E上收敛于 f(x)，若对任意的??0 ，存在自然数
N?N(?)，当 n?N时，对E中一切 x都有
fn(x)?f(x)??
则称函数列{fn(x)}在E上一致收敛于f(x)。
注意 这里的 N 只与?有关，与x 无关，这一点是一致收敛与逐点收敛的本质区别。 一致收敛的几何意义
对任给的?-带 {(x,y);|y?f(x)|??}，总存在一个N，n?N时，fn(x)的图形全部落入这个?-带内。
一致收敛情况图示
对任意??0，n充分大时，fn(x) 将全部落入?－带以内。
f(x) fn(x) {fn(x)}收敛但不一致收敛的几何意义：
对任意 x?D， limfn(x)?f(x)，但存在一个?0?0，对任意的N，都可找到一
n??个n0，尽管 n0?N，但 fn0(x)总有一部分落在?0带以外。
例 证明函数列 fn(x)?f(x) nxfn(x) ] 上收敛但不一致收敛 在 [0,11?n2x2证明 1）函数列在 [0,1] 上收敛。 显然 对任意的x?[0,1] ， fn(x)?2）但 fn(x) 不一致收敛于0
先看一看函数列的图象（图中给出的是 n＝8，20，50 的情况）
clf,x=0:1/100:1; y1=8*x./(1+64*x.^2);
1nn?0 2?nxy2=20*x./(1+400*x.^2); y3=50*x./(1+2500*x.^2);
plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2) hold on
plot([-0.1,1],[0,0],'b',[0,0],[-0.1,0.6],'b') axis([-0.1,1.2,-0.1,0.6])
legend('y1,n=8','y2,n=20','y3,n=50')
0.6y1,n=8 y2,n=20y3,n=500.50.40.30.20.10-0.100.20.40.60.811.2
可以看出，对于 ?0?0.5，无论 n再大，fn(x) 的图象总有一部分落在?0－带以外。
事实上存在 xn0?11??0， ， |fn0(xn0)?f(x)|?n2.所以该函数列是不一致收敛的。
n例 函数列 {x}在[0,1]上不一致收敛，但在 [0,?],??1 上一致收敛。
先看看该函数列的图象
clf,x=0:1/100:1;
y1=x.^4;y2=x.^10;y3=x.^50;
plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2)