发布时间 : 星期六 文章人教A版2019年高中数学选修1-1学案：第二章2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程 - 含答案更新完毕开始阅读afd13bcdba68a98271fe910ef12d2af90242a8a4
2.2.1 双曲线及其标准方程
学习目标：1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)， 且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
[提示] (1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是
F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M在双曲线的右支上． 2．双曲线的标准方程
标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 x2y2－＝1(a＞0，b＞0) a2b2F1(－c,0)， F2(c,0) y2x2－＝1(a＞0，b＞0) a2b2F1(0，－c)， F2(0，c) 焦点 a，b，c的关系 [基础自测] 1．思考辨析
c2＝a2＋b2 (1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同． (2)点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．
( ) ( )
x2y2
(3)在双曲线标准方程2－2＝1中，a＞0，b＞0，且a≠b.
ab[答案] (1)× (2)× (3)× 2．双曲线－＝1的焦距为( )
102
A．32 B．42 C．33 D．43 D [c＝10＋2＝12，所以c＝23，从而焦距为43.]
3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )
2
x2y2
【导学号：97792079】
A.B.C.D.
－＝1 2524－＝1 2524
－＝1或－＝1 25242524－＝0或－＝0 25242524
2
2
2
2
2
x2y2x2x2
y2x2y2y2
y2y2
x2x2
C [b＝c－a＝7－5＝24，故选C.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
双曲线的定义及应用 若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
916
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离． (2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． [思路探究] (1)直接利用定义求解． (2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|.
[解] (1)设|MF1|＝16，根据双曲线的定义知||MF2|－16|＝6，即|MF2|－16＝±6. 解得|MF2|＝10或|MF2|＝22. (2)由－＝1，
916得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|＝|PF1|＋|PF2|－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以10＝(|PF1|－|PF2|)＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64，
1
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
213
＝×64×＝163. 22
[规律方法] 求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法 (1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想方法求出|PF1|·|PF2|的值；④利用2
2
2
2
2
x2y2x2y2
1公式S△PF1F2＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积. 21(2)利用公式S△PF1F2＝×|F1F2|×|yP|求得面积. 2[跟踪训练] 1．(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是( )
A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|－|PF2|＝±4
A [|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知选A.]
(2)已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线－＝1的左焦点，点P是双曲线右支
412上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________.
【导学号：97792080】
9 [由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4,0)．|PF|－|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|＝＋|PA|的最小值为9.]
－
22
2
x2y2
＋4＝25＝5，所以|PF|＋|PA|≥|AF1|＋4＝9，即|PF|
2 求双曲线的标准方程 根据下列条件，求双曲线的标准方程： 410??
(1)a＝4，经过点A?1，－?；
3??
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；
164
x2y2
?15??16?(3)过点P?3，?，Q?－，5?且焦点在坐标轴上．
4??3??
[思路探究] (1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解． (2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．
(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解．
2
y2
[解] (1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－2＝1(b>0)，把点A的坐标代入，
16bx2
16160yx得b＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－2＝1(b>0)，
15916b2
22
把A点的坐标代入，得b＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
169
(2)法一：∵焦点相同，
2
y2x2
x2y2
∴设所求双曲线的标准方程为2－2＝1(a>0，b>0)，
ab∴c＝16＋4＝20，即a＋b＝20 ①. ∵双曲线经过点(32，2)，∴
2
2
2
2
2
184
2－2＝1 ②.
ab由①②得a＝12，b＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1.
128法二：设所求双曲线的方程为
x2y2
x2
16－λ
－y2
4＋λ
＝1(－4<λ<16)．
184
∵双曲线过点(32，2)，∴－＝1，
16－λ4＋λ解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为－＝1. 128(3)设双曲线的方程为Ax＋By＝1，AB<0. ∵点P，Q在双曲线上， 225
9A＋B＝1，??16∴?256??9A＋25B＝1，
2
2
x2y2
y2
1
A＝－，??16解得?1
B＝??9.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
916[规律方法] 1.求双曲线标准方程的步骤 (1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出a，b的值． 2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax＋By＝1(AB<0)来求解． [跟踪训练] 2．(1)与椭圆＋y＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )
4A.－y＝1 4
2222x2
x2
2
x2
2
B.－y＝1 3
x2
2