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第十一讲 数论综合（二）
例题精讲：
板块一 质数合数
【例 1】 有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同
的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．
【例 2】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数．
【例 3】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字
最多能组成多少个质数？
【例 4】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数
分别是多少？
板块二 余数问题
【例 5】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之
和为2113，则被除数是多少？
【例 6】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？
【例 7】 有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数．
【例 8】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这
个整数是______．
【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．
【例 9】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数
是多少？
【例 10】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数
是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？
【例 11】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 22003与20032的和除以7的余数是________．
22008?20082除以7的余数是多少？ 【巩固】
【例 12】 (2009年走美初赛六年级)有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在
这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？
【巩固】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多
少？
【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数
列转换为被3除所得余数的数列：
1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……
第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0．
【例 13】 (1997年全国小学数学奥林匹克试题)将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那
么此数除以9的余数是 ________．
【解析】 本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．
1～9共有9个数字，10～99共有90个两位数，共有数字：90?2?180 (个)， 100～999共900个三位数，共有数字：900?3?2700 (个)，所以数连续写，不会写到999，从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(1997?9?180)?3?602......2，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702?9?78 (组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-2?7 ．
【例 14】 有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位
数字之和是8，求两个三位数的和．
【解析】 本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我
们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的余数为8，那么□1031除以9的余数也必须为8，□只能是3．将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积， 即31031?31?1001?143?217
所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360
【例 15】 设20092009的各位数字之和为A，A的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，C的各位数字之和为D，那
么D?？
【解析】 由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以20092009与A、B、C、D 除以9都同余，
而2009除以9的余数为2，则20092009除以9的余数与22009除以9的余数相同，而26?64除以9的余数为1，所以
22009?26?334?5??26?334?25除以9的余数为25除以9的余数，即为5．
另一方面，由于20092009?100002009?108036，所以20092009的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过9?8036?72324，即A?72324；那么A的各位数字之和B?9?5?45，B的各位数字之和C?9?2?18，C小于18且除以9的余数为5，那么C为5或14，C的各位数字之和为5，即D?5．
板块三 完全平方数
【例 16】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？ 【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现．
而72?23?32?2?6?6，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，
由于2?31?31?1922?2008?2?32?32?2048，所以2?12、2?22、……、2?312都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．
【例 17】 一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？ 【解析】 设这个数减去63为A2，减去100为B2，则A2?B2??A?B??A?B??100?63?37?37?1，
可知A?B?37，且A?B?1，所以A?19，B?18，这样这个数为182?100?424．
【巩固】 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？ 【解析】 假设能找到，设这两个完全平方数分别为A2、B2，那么这两个完全平方数的差为
54??A?B??A?B?，由于?A?B?和?A?B?的奇偶性质相同，所以?A?B??A?B?不是4的倍数，就是奇数，不可
能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以54不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．
【例 18】 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值
为 ．
【解析】 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的
数，这样前后的数关于中间的数是对称的．
5x是平方数，3x?15a2?3?5?a2设中间数是x，则它们的和为5x， 中间三数的和为3x．设5x?52?a2，则x?5a2，
是立方数，所以a2至少含有3和5的质因数各2个， 即a2至少是225，中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．
板块四 位值原理
【例 19】 (美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位
数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？ 【解析】 设原来的两位数为ab，交换后的新的两位数为ba，根据题意，
ab?ba?(10a?b)?(10b?a)?9(a?b)?45，a?b?5，原两位数最大时，十位数字至多为9，即a?9，b?4，原来的两位数中最大的是94．
【巩固】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来
的四位数．
【解析】 设原数为abcd，则新数为dcba，
dcba?abcd?(1000d?100c?10b?a)?(1000a?100b?10c?d)?999(d?a)?90(c?b)．
根据题意，有999(d?a)?90(c?b)?8802，111?(d?a)?10?(c?b)?978?888?90． 推知d?a?8，c?b?9，得到d?9，a?1，c?9，b?0，原数为1099．
【例 20】 (第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，
那么这3个数字分别是多少？ 【解析】 设这六个不同的三位数为abc,acb,bac,bca,cab,cba，
c100?a10?b，cacb?100a?10c?b，……，它们的和是：222?(a?b?c)?1554，所以因为ab?a?b?c?155?42?2，由于这三个数字互不相同且均不为20，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而7?(1?2)?4，所以最大的数最大为4；又1?2?3?6?7，所以最大的数大于3，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．
【巩固】 (迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的
三位数．
【解析】 设三个数字分别为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为：
abc?acb?bac?bca?cab?cba?2(a?b?c)?100?2(a?b?c)?10?2(a?b?c)?222?(a?b?c) 所以
a?b?c?288?622?2，最小的三位数的百位数应为11，十位数应尽可能地小，由于十位 数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13?1?9?3，所以所 有这样的6个三位数中最小的三位数为139．
【巩固】 a，b，c分别是09中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另
一个三位数是几？
【解析】 由a，b，c组成的六个数的和是222?(a?b?c)．因为2234?222?10，所以a?b?c?10．
若a?b?c?11，则所求数为222?11?2234?208，但2?0?8?10?11，不合题意． 若a?b?c?12，则所求数为222?12?2234?430，但4?3?0?7?12，不合题意． 若a?b?c?13，则所求数为222?13?2234?652，6?5?2?13，符合题意．
若a?b?c?14，则所求数为222?14?2234?874，但8?7?4?19?14，不合题意． 若a?b?c?15，则所求数?222?15?2234?1096，但所求数为三位数，不合题意． 所以，只有a?b?c?13时符合题意，所求的三位数为652．
板块五 进制问题
【例 21】 在几进制中有4?13?100？ 【解析】 利用尾数分析来解决这个问题：
由于(4)10?(3)10?(12)10，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位． 所以说进位制n为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个． 但是式子中出现了4，所以n要比4大，不可能是4，3，2进制．
另外，由于(4)10?(13)10?(52)10，因为52?100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道n?10，那么n不能是12．
所以，n只能是6．
【巩固】 算式1534?25?43214是几进制数的乘法？ 【解析】 注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4?5?20，但是现在为4，说明进走20?4?16，所以进位
制为16的约数，可能为16、8、4或2．
因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534?25?38350?43214，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．
【例 22】 在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少？ 【解析】 (abc)6 =a×62＋b×6+c=36a+6b+c；(cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a；所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；
因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)=1．所以，b=0或5．
①当b=0，则35a=80c；则7a=16c；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以a=16，c=7．但是在6，9进制，不可以有一个数字为16．
②当b=5，则35a=3×5+80c；则7a=3+16c；mod 7后，3+2c≡0．所以c=2或者2+7k(k为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2；35a=15+80×2，a=5．所以(abc)6 =(552)6 =5×62+5×6+2=212．这个三位数在十进制中为212．
课后练习：
练习 1． 三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．
【解析】 设这三个质数分别是a、b、c，满足abc?7(a?b?c)，则可知a、b、c中必有一个为7，不妨记
为a，那么bc?7?b?c，整理得(b?1)(c?1)?8，又8?1?8?2?4，对应的b?2、c?9(舍去)或b?3、c?5，所以这三个质数可能是3，5，7
练习 2． 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数． 【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可
以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．101?45?56，59?45?14，(56,14)?14，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14．
练习 3． 将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：1234567891011121320072008，试
求这个多位数除以9的余数．
【解析】 以19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于?1?9?9?9?2?0?0?0?被9除的余数，但是由于1999与
?1?9?9?9?被9除的余数相同，2000与?2?0?0?0?被9除的余数相同，所以19992000就与?1999?2000?被9
除的余数相同．
由此可得，从1开始的自然数1234567891011121320072008被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余数相同．
?1?2008??2008?2017036，它被9除的余数为1． 根据等差数列求和公式，这个和为：
2另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成123456789，101112131415161718，……，199920002001200220032004200520062007，2008等数，可见它被9除的余数与2008被9除的余数相同．
因此，此数被9除的余数为1．
练习 4． 在7进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少？ 【解析】 首先还原为十进制：(abc)7?a?72?b?7?c?49a?7b?c；(cba)9?c?92?b?9?a?81c?9b?a．
于是49a?7b?c?81c?9b?a；得到48a?80c?2b，即24a?40c?b．
因为24a是8的倍数，40c也是8的倍数，所以b也应该是8的倍数，于是b?0或8． 但是在7进制下，不可能有8这个数字．于是b?0，24a?40c，则3a?5c． 所以a为5的倍数，c为3的倍数．
所以，a?0或5，但是，首位不可以是0，于是a?5，c?3； 所以(abc)7?(503)7?5?49?3?248． 于是，这个三位数在十进制中为248．
月测备选：
【备选1】某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来． 【解析】 有六个这样的数，分别是11，13，17，23，37，47．
【备选2】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和
等于415，则被除数是_______．
（415?4?8?8）?（4?1）?79，所以，被除【解析】 因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为
数为79?4?8?324．
【备选3】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________． 【解析】 先将1016分解质因数：1016?23?127，由于1016?a是一个完全平方数，所以至少为24?1272，故a最小为
2?127?254．
【备选4】在几进制中有125?125?16324？ 【解析】 注意(125)10?(125)10?(15625)10，因为15625?16324，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以n?10．
再注意尾数分析，(5)10?(5)10?(25)10，而16324的末位为4，于是25?4?21进到上一位． 所以说进位制n为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3． 因为出现了6，所以n只能是7．