发布时间 : 星期三 文章2016年山东省潍坊市高考数学一模试卷(理科)更新完毕开始阅读b034143a12661ed9ad51f01dc281e53a58025177
∵函数f（x）在x= 处取得最值，
∴2ω× - =kπ+ ，解得ω=2k+ ，k∈Z， 又∵ω∈（0，2），∴ω= ， ∴f（x）=2sin（3x- ）- ， ∴最小正周期T= ；
（2）将函数f（x）的图象向左平移 个单位得到y=2sin[3（x+ ）- ]- =2sin（3x- ）- 的图象，
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（x- ）- 的图象．
∵α为锐角，g（α）=2sin（α- ）- = ，∴sin（α- ）= ，
∴cos（α- ）= = ，
∴cosα=cos[（α- ）+ ]= cos（α- ）- sin（α- ）
= - =
【解析】
（1）化简可得f（x）=2sin（2ωx- ）- ，由函数的最值可得ω，再由周期公式可得； （2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（x- ）- ，可得sin（α- ）= ，进而可得cos
（α- ）= ，整体代入cosα=cos[（α- ）+ ]= cos（α- ）- sin（α- ）计算可得．
本题考查三角函数图象和解析式，涉及三角函数图象变换，属中档题．
17.如图所示的几何体中，四边形ABCD和四边形BCEF是全等的等腰梯形，且平面BCEF⊥平面ABCD，AB∥DC，CE∥BF，AD=BC，AB=2CD，∠ABC=∠CBF=60°，G为线段AB的中点
（1）求证：AC⊥BF；
（2）求二面角D-FG-B（钝角）的余弦值．
【答案】 解：（1）连接CF，∵四边形ABCD和四边形BCEF
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是全等的等腰梯形，AB∥DC，CE∥BF，AD=BC，AB=2CD，∠ABC=∠CBF=60°，G为线段AB的中点，
∴DG∥BC，AC⊥CB，同理CF⊥BC， ∵平面BCEF⊥平面ABCD，AC⊥BC， ∴AC⊥平面BCEF，
∵BF?平面BCEF，∴AC⊥BF； （2）由（1）知CF⊥平面ABCD，
∴建立以C为坐标原点，以CA，CB，CF分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图： ∵AD=BC，AB=2CD，∠ABC=∠CBF=60°， ∴设BC=1，则AB=2，AC=CF= ，
则A（ ，0，0），B（0，1，0），F（0，0， ），G（ ， ，0），
=（- ，-， ） = =（0，1，0） 则 ，，=（，- ，0），
=（x，y，z）设平面DFG的一个法向量为 ，
， 则
=（2，0，1）则y=0，令x=2，则z=1，即为 ， =（x，y，z）设平面FGB的一个法向量为 ，
， 则
即 ， =（1， ，1）令x=1，则y= ，z=1，即为 ， ， ＞= 则cos＜ = ∵二面角D-FG-B是钝二面角， ∴二面角（钝角）的余弦值为- ．
【解析】
（1）根据线面垂直的性质定理证明AC⊥平面BCEF即可．
（2）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可． 本题主要考查空间直线垂直的判断以及二面角的求解，根据线面垂直的性质定理以及建立坐标系，利用向量法求二面角是解决本题的关键．
18.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1+Sn=a 数列{bn}满足bnbn+1=3 ， ，且b1=1．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记Tn=anb2+an-1b4+…+a1b2n，求Tn．
【答案】
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==，
解：（I）正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1+Sn=a ，
∴当n≥2时，Sn+Sn-1= ，相减可得：an+1+an=a - ， ∴an+1-an=1，
∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1． ∴an=1+（n-1）=n．
∵数列{bn}满足bnbn+1=3 ，且b1=1．
n
∴bnbn+1=3，b2=3． ∴
=
=3，
∴bn+2=3bn．
∴数列{bn}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为3．
kk
∴b2k-1=3-1，b2k=3．
， ∴bn= （k∈N*）．
，
n
（II）Tn=anb2+an-1b4+…+a1b2n=3n+（n-1）×32+（n-2）×33+…+3．
nn
3Tn=32n+（n-1）33+…+2×3+3+1，
∴-2Tn=3n-32-33-…-3-3∴Tn= - ．
n
n+1
=3n-=3n-
，
【解析】
（I）正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1+Sn=a ，利用递推关系及其等差
n
b2=3．数列的通项公式即可得出．数列{bn}满足bnbn+1=3 ，且b1=1．可得bnbn+1=3，利
用递推关系可得：bn+2=3bn．可得数列{bn}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为3．即可得出．
（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．
本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制．各等级划分标准见表．规定：A、B、C三级为合格等级，D为不合格等级． 百分制 等级 85以及以上 A 70分到84分 B 60分到69分 C 60分以下 D 为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示． （I）求n和频率分布直方图中的x，y的值；
（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；
（Ⅲ）在选取的样本中，从A、C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示所抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期
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望．
【答案】
解：（Ⅰ）由题意知，样本容量n= ， x==0.004，y=
=0.018，
（Ⅱ）成绩是合格等级人数为：（1-0.1）×50=45人， 抽取的50人中成绩是合格等级的频率为 ，
故从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为 ，
设在该校高一学生中任选3人，至少有1人成绩是合格等级的事件为A，
=则P（A）=1- ．
（Ⅲ）由题意知C等级的学生人数为0.18×50=9人，
A等级的人数为3人，故ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= = ，
P（ξ=2）= = ，P（ξ=3）= = ，
∴ξ的分布列为： ξ P
0
1
2 3 Eξ= = ．
【解析】
（Ⅰ）由题意知，先求出样本容量，由此能求出n和频率分布直方图中的x，y的值． （Ⅱ）成绩是合格等级人数为45人，从而得到从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为 ，由此能求出至少有1人成绩是合格等级的概率．
（Ⅲ）由题意知C等级的学生人数为9人，A等级的人数为3人，ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望． 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解
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