发布时间 : 星期六 文章高中数学第一章推理与证明1归纳与类比教学案北师大版2更新完毕开始阅读b03f3ef6366baf1ffc4ffe4733687e21ae45ff93
§1归纳与类比
[对应学生用书P2]
归 纳 推 理 问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？ 提示：都能导电．
问题2：由问题1你能得出什么结论？ 提示：一切金属都能导电．
问题3：若数列{an}的前四项为2,4,6,8，试写出an. 提示：an＝2n(n∈N＋)．
问题4：上面问题2、3得出结论有何特点？ 提示：都是由几个特殊事例得出一般结论．
归纳推理
定义 根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，将这种推理方式称为归纳推理. 类 比 推 理
问题1：试写出三角形的两个性质． 提示：(1)三角形的两边之和大于第三边； 1
(2)三角形的面积等于高与底乘积的.
2
问题2：你能由三角形的性质推测空间四面体的性质吗？试写出来． 提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
特征 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理. 1 / 13
1
(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的.
3
问题3：试想由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么．
提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，即由特殊到特殊．
定义 由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，把这种推理过程称为类比推理. 合情推理与演绎推理
1．合情推理的含义
合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．
归纳推理和类比推理是最常见的合情推理． 2．演绎推理的含义
演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．
1．归纳推理的特点：
(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；
(2)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．
2．类比推理的特点：
(1)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象；
(2)如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠；
特征 类比推理是两类事物特征之间的推理. 2 / 13
(3)由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类比推理不能作为数学证明的工具．
[对应学生用书P3]
数与式的归纳
1111111113111
[例1] 已知：1>；1＋＋>1；1＋＋＋＋＋＋>；1＋＋＋…＋>2；….
22323456722315根据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论．
[思路点拨] 观察不等式左边最后一项的分母特点为2－1，不等式右边为，由此可得
2一般性结论．
[精解详析] 1＝2－1,3＝2－1,7＝2－1,15＝2－1，…，猜想不等式左边最后一项的1234nn分母为2－1，而不等式右端依次分别为：，，，，…，.
22222
111n归纳得一般结论：1＋＋＋…＋n>(n∈N＋)．
232－12[一点通] 根据给出的数与式，归纳一般结论的思路：
(1)观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代数式的相同或相似之处等； (2)提炼出数、式的变化规律； (3)运用归纳推理写出一般结论．
1
2
3
4
nn?1?n1．已知an＝??，把数列{an}的各项排成如下的三角形：
?3?
a1 a2a3a4 a5a6a7a8a9
……
记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11,12)＝( )
3 / 13
?1?67A.?? ?3??1?111C.?? ?3?
?1?68 B.?? ?3??1?112 D.?? ?3?
解析：该三角形每行所对应元素的个数为1,3,5……那么第10行的最后一个数为a100，
?1?112
第11行的第12个数为a112，即A(11,12)＝??.
?3?
答案：D
2．(陕西高考)已知f(x)＝ ，x≥0，若 f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，
1＋x则f2 014(x)的表达式为________．
xx解析：由f1(x)＝?f2(x)＝f??＝
1＋x?1＋x?
x?x?
＝；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝
x1＋2x1＋1＋x1＋xxx1＋2x1＋
1＋2x答案：
x＝
x1＋3x，故可猜想f2 014(x)＝
.
1＋2 014xx
1＋2 014x(n＝1,2,3，…)． 1＋2anx3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(1)求a2，a3，a4；
an(2)归纳猜想数列{an}的通项公式． 解：(1)当n＝1时，a1＝1，
an1
由an＋1＝(n∈N＋)，得a2＝，
1＋2an3a3＝
1a31＝，a4＝＝. 1＋2a251＋2a37
a2
1111(2)由a1＝1＝，a2＝，a3＝，a4＝，
1357可归纳猜想an＝
图与形的归纳 1
(n∈N＋). 2n－1
4 / 13