发布时间 : 星期二 文章2012年福建高考数学文科试卷（带答案）更新完毕开始阅读b054d6f4c850ad02df8041b1
⑤sin2(?25?)?cos255??sin(?25?)cos55? （1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论． 【测量目标】三角恒等变化及特殊角之间的转换求解问题. 【考查方式】给出角的正弦与余弦值计算他们的和与差.
2?2???【试题解析】（1）选择②：sin15?cos15?sin15cos15?1?13sin30??． 24322??（2）三角恒等式为：sin??cos(30??)?sin?cos(30??)?，
4证明：sin2??cos2(30???)?sin?cos(30???)
?sin2??(3131cos??sin?)2?sin?(cos??sin?) 22223131cos??sin?)(cos??sin?) 2222?sin2??(31333?sin2??cos2??sin2??sin2??cos2??．
4444421.（本小题满分12分）
如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2?2py（p?0）
上．
（1）求抛物线E的方程；
（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y??1相交于点Q．证明：以PQ为
直径的圆恒过y轴上某定点．
【测量目标】抛物线的图像及其性质.
【考查方式】给出抛物线的解析式求其未知量. 【试题解析】（1）∵△OAB为等边三角形，
∴直线OB的方程为y?tan60??x?3x（步骤
1），
由???y?3x??x?2py2，解得B(23p,6p)，（步骤2）
∵点A,B关于y轴对称，∴A(?23p,6p)， ∴2?23p?83，即p?2，
∴抛物线E的方程为x2?4y．（步骤3）
2x01x2（2）设P(x0,)，∵y?，∴y??x，（步骤4）
2442x01?x0(x?x0)， ∴过点P的切线方程为y?422x01即y?x0x?（步骤5），
2422x0?4x0?4令y??1，得x?，即Q(,?1)．
2x02x0?????????设M(0,t)满足：MP?MQ?0,
?????????x2?4∵MP?(x0,y0?t)，MQ?(0（步骤6） ,?1?t)，
2x02x0?4∴x0??(y0?t)?(?1?t)?0，
2x02x0∴x?4?(?t)?(?1?t)?0，（步骤7）
42∴4(t2?t?2)?(1?t)x0?0对x0?0均成立，
20?t2?t?2?0∴?，∴t?1，
1?t?0?∴以PQ为直径的圆恒过y轴上定点M(0,1)．（步骤8）
22.（本小题满分14分）
已知函数f(x)?axsinx?3???3(a?R)，且在[0,]上的最大值为． 222（1）求函数f(x)的解析式；
（2）判断函数f(x)在(0,?)内的零点个数，并加以证明． 【测量目标】已知三角函数最值问题求其解析式.
【考查方式】给出含有未知量的三角函数和其最值求其解析式.
3??3??在[0,]上恒成立，且能取到等号， 222?? ?axsinx?在[0,]上恒成立，且能取到等号，
22??x ?g(x)?xsin?在[0,]上恒成立，且能取到等号， 2a2? ?g(x)max?，（步骤1）
2a?∵g?(x)?sinx?xcosx?0，∴g(x)在[0,]上上单调递增，
2???3?，∴a?1，∴f(x)?xsinx?．（步骤2） ∴g()?22a223（2）∵f(x)?xsinx?，∴f?(x)?sinx?xcosx，（步骤3）
2?? ①当x?(0,]时，f?(x)?0，∴f(x)在(0,]上上单调递增，
22?3??3??0，∴y?f(x)在(0,]上有唯一零点， ∵f(0)?f()???2222?②当x?(,?)时，令g(x)?sinx?xcosx，
2?∴g?(x)?2cosx?xsinx?0，∴g(x)在(,?)上单调递减，（步骤4）
2??∵g()?g(?)?1???0，∴在(,?)上存在g(m)?0，
22??∴当x?(,m)时，g(x)?g(m)?0，即f?(x)?0，f(x)在(,m)上单调递增，（步骤5）
22????3??0，∴f(x)在(,m)上无零点，当x?(m,?)时，故当x?[,m]时，f(x)…f()?2222【试题解析】（1）f(x)?axsinx?g(x)?g(m)?0，)?0，f(x)在(m,?)上单调递减，即f?(x又f(m)?0，f(?)?0，∴f(x)在(m,?)上有且仅有一个零点，综上所述：f(x)在(0,?)内有两个零点．（步骤6）