发布时间 : 星期五 文章2015-2016学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷更新完毕开始阅读b0836012bb1aa8114431b90d6c85ec3a87c28b24
∴a=﹣1，b=2，
（2）由（1）可知a=﹣1，则x+a|x﹣2|﹣8＜0即为x﹣|x﹣2|﹣8＜0
2
当x≥2时，x﹣x﹣6＜0，即（x﹣3）（x+2）＜0，解得2≤x＜3， 当x＜2时，x+x﹣10＜0，解得综上所述：不等式的解集为{x|
2
2
2
＜x＜2， ＜x＜3}．
【点评】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，一元二次不等式的应用，属于基础题． 17．（15分）（2015秋?湖州期末）已知圆C的圆心在射线y=2x﹣3（x≥0），且与直线y=x+2和y=﹣x+4都相切． （1）求圆C的方程；
（2）若P（x，y）是圆C上任意一点，求x+2y的最大值． 【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】（1）设C（x，2x﹣3）（x≥0），利用圆C与直线y=x+2和y=﹣x+4都相切，求出圆心与半径，即可求圆C的方程；
（2）设t=x+2y，则x+2y﹣t=0，利用圆心到直线的距离d=的最大值． 【解答】解：（1）设C（x，2x﹣3）（x≥0）， ∵圆C与直线y=x+2和y=﹣x+4都相切， ∴
=
，
≤2，即可求x+2y
∵x≥0，∴x=1， ∴C（1，﹣1），r=2，
22
∴圆C的方程（x﹣1）+（y+1）=8； （2）设t=x+2y，则x+2y﹣t=0， 圆心到直线的距离d=
≤2
，
∴﹣2﹣1≤t≤2+1 ∴x+2y的最大值为2+1． 【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
18．（15分）（2015秋?湖州期末）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB=AC=1，AA1=2，且P，Q，M分别是BB1，CC1，B1C1的中点，AB⊥AQ． （1）求证：AB⊥AC；
（2）求证：AQ∥平面A1PM；
（3）求AQ与平面BCC1B1所成角的大小．
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【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．
【专题】计算题；证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（1）由于三棱柱中侧棱与底面垂直，分析可得AB⊥A1A，又由题干条件AB⊥AQ，由线面垂直的判定定理即可得证明；
（2）取BC的中点G，连接AG、QG、BC1，由中位线的性质可得可得MP∥BC1与QG∥BC1，进而可得QG∥MP，分析可得A1M∥AG，由面面平行的判定方法可得面APQ∥面A1PM，进而结合面面平行的性质可得证明；
（3）取BC的中点G，连接AG、DG，分析易得AG⊥面BCC1B1，进而由线面角的定义可得∠AQG为直线AQ与平面BCC1B1所成角；在△ABC中分析可得BC=在Rt△AQG中，计算可得AG==
，计算即可得答案．
，GQ=
=
AG=
，进而
，由正切的定义可得tan∠AQG=
【解答】解：（1）证明：∵A1A⊥面ABC，而AB?面ABC，∴AB⊥A1A， 又∵AB⊥AQ，
∴AB⊥面ACC1A1， 又∵AC?面ACC1A1， ∴AB⊥AC；
（2）证明：取BC的中点G，连接AG、QG、BC1， ∵P、M分别是BB1、B1C1的中点， ∴MP∥BC1， 同理：QG∥BC1， ∴QG∥MP，
又∵M为B1C1的中点，G为BC中点， ∴A1M∥AG， 又∵QG∥MP，
∴面APQ∥面A1PM， ∴AQ∥平面A1PM；
（3）取BC的中点G，连接AG、DG， ∵AB=AC=1， ∴AG⊥BC， 又∵AG⊥BB1， ∴AG⊥面BCC1B1，
故∠AQG为直线AQ与平面BCC1B1所成角， 在△ABC中，∠ABC=90°，AB=AC=1，则BC=
且AG=
，
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在Rt△AQG中，AG=则tan∠AQG=则∠AQG=30°．
=
，
，GQ==，
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，涉及直线与平面平行，直线与平面所成的角；求直线与平面所成的角时关键正确分析直线与平面的关系．
19．（15分）（2015秋?湖州期末）已知数列{an}满足a1=，an+1=（1）设bn=
（n∈N）．
*
﹣1，证明：数列{bn}是等比数列，并求数列{an}的通项公式an；
（2）记数列{nbn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜4． 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】证明题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（1）通过对an+1=1=（
两边同时取倒数可知=?+，变形可知﹣
﹣1），进而可知数列{bn}是公比为的等比数列，通过求出数列{bn}的通项公式
可知数列{an}的通项公式； （2）通过（1）可知nbn=n?
，进而利用错位相减法计算、放缩即得结论．
*
【解答】证明：（1）∵an+1=
（n∈N），
∴==?+，
整理得：﹣1=（﹣1），
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∵bn=
﹣1，
∴数列{bn}是公比为的等比数列， 又∵b1=∴bn=
﹣1=2﹣1=1， ﹣1=
，
∴an=
=；
（2）由（1）可知nbn=n?则Tn=1?
+2?+3?
+3?
+…+n?
，
，
+n?﹣n?
，
Tn=1?+2?
+…+（n﹣1）?
+
+…+
两式相减得：Tn=1++
=﹣n?
=2﹣，
）=4﹣
＜4．
∴Tn=2（2﹣
【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，考查放缩法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．（14分）（2015秋?湖州期末）已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的离心率e=
，其左
右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为4． （1）求椭圆的方程；
（2）如图，直线x=ty+m交椭圆于不同两点C，D，若以线段CD为直径的圆过原点O，求|CD|的取值范围．
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