2015-2016学年浙江省湖州市高二(上)期末数学试卷 联系客服

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当q≠1时,Sn=

=.

2.等比数列前n项和的性质

公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n仍成等比数列,

n

其公比为q.

8.数列的求和 【知识点的知识】

就是求出这个数列所有项的和,一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等,常用的方法包括: (1)公式法:

①等差数列前n项和公式:Sn=na1+n(n﹣1)d或Sn=②等比数列前n项和公式:

③几个常用数列的求和公式:

(2)错位相减法:

适用于求数列{an×bn}的前n项和,其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法: 适用于求数列{(

).

}的前n项和,其中{an}为各项不为0的等差数列,即

=

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(4)倒序相加法:

推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1+an). (5)分组求和法:

有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.

【典型例题分析】

典例1:已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn. (Ⅰ)求an及Sn; (Ⅱ)令bn=

(n∈N),求数列{bn}的前n项和Tn.

*

分析:形如的求和,可使用裂项相消法如:

解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d, ∵a3=7,a5+a7=26, ∴

,解得a1=3,d=2,

∴an=3+2(n﹣1)=2n+1; Sn=

=n+2n.

2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知an=2n+1, ∴bn=

=

=

=

∴Tn=

即数列{bn}的前n项和Tn=

==,

点评:该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法,这也是数列求和当中常用的方法,就像友情提示那样,两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和.

【解题方法点拨】

数列求和基本上是必考点,大家要学会上面所列的几种最基本的方法,即便是放缩也要往这里面考.

9.等差数列的性质 【知识点的知识】 等差数列的性质:

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(1)若公差d>0,则为递增等差数列;若公差d<0,则为递减等差数列;若公差d=0,则为常数列;

(2)有穷等差数列中,与首末两端“等距离”的两项和相等,并且等于首末两项之和; (3)m,n∈N,则am=an+(m﹣n)d;

(4)若s,t,p,q∈N*,且s+t=p+q,则as+at=ap+aq,其中as,at,ap,aq是数列中的项,特别地,当s+t=2p时,有

as+at=2ap;

(5)若数列{an},{bn}均是等差数列,则数列{man+kbn}仍为等差数列,其中m,k均为常数.

(6)an,an﹣1,an﹣2,…,a2,a1仍为等差数列,公差为﹣d.

(7)从第二项开始起,每一项是与它相邻两项的等差中项,也是与它等距离的前后两项的等差中项,即2an+1=an+an+2,

+

2an=an﹣m+an+m,(n≥m+1,n,m∈N)

(8)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍为等差数列,公差为kd(首项不一定选a1).

10.数列递推式 【知识点的知识】

1、递推公式定义:如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且任一项an与它的前一项an﹣(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 1

2、数列前n项和Sn与通项an的关系式:an=

+

在数列{an}中,前n项和Sn与通项公式an的关系,是本讲内容一个重点,要认真掌握. 注意:(1)用an=Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗?(n≥2,当n=1时,a1=S1);若a1适合由an的表达式,则an不必表达成分段形式,可化统一为一个式子.

(2)一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时,常需运用关系式an=Sn﹣Sn﹣1,先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式,然后再求解. 3、数列的通项的求法:

(1)公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式. (2)已知Sn(即a1+a2+…+an=f(n))求an,用作差法:an=

.一般

地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时,常需运用关系式,先将已知条件转化为只含 或 的关系式,然后再求解.

(3)已知a1?a2…an=f(n)求an,用作商法:an,=

(4)若an+1﹣an=f(n)求an,用累加法:an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1(n≥2). (5)已知

=f(n)求an,用累乘法:an=

(n≥2).

(6)已知递推关系求an,有时也可以用构造法(构造等差、等比数列).特别地有,

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①形如an=kan﹣1+b、an=kan﹣1+b(k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后,再求an. ②形如an=

的递推数列都可以用倒数法求通项.

n

(7)求通项公式,也可以由数列的前几项进行归纳猜想,再利用数学归纳法进行证明.

11.直线的倾斜角 【知识点的认识】

1.定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的切斜角.

2.范围:[0,π) (特别地:当直线l和x轴平行或重合时,规定直线l的倾斜角为0°) 3.意义:体现了直线对x轴正方向的倾斜程度. 4.斜率与倾斜角的区别和联系

(1)区别:①每条直线都有倾斜角,范围是[0,π),但并不是每条直线都有斜率.

②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向,而斜率是从代数的角度刻画直线的方向.

(2)联系:①当a≠

时,k=tanα;当α=

时,斜率不存在;

)时,k>0且随α的增大而

②根据正切函数k=tanα的单调性:当α∈[0,增大,当α∈(

,π)时,k<0

且随α的增大而增大. 【命题方向】

直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查.直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一,是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示,也是用坐标法研究直线性质的基础.在高考中多以选择填空形式出现,是高考考查的热点问题. (1)直接根据直线斜率求倾斜角

例:直线x+y﹣1=0的倾斜角是( ) A.30° B.60° C.120° D.150°

分析:求出直线的斜率,然后求解直线的倾斜角即可. 解答:因为直线x+y﹣1=0的斜率为:﹣, 直线的倾斜角为:α. 所以tanα=﹣, α=120° 故选C.

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