发布时间 : 星期四 文章浅谈考试成绩的显著性差异更新完毕开始阅读b1f81813bcd126fff7050bad
S=1[26(1?0.65)2?14(0?0.65)2]=0.483。 ?40?1年级的优秀率与及对应的标准差也如法炮制，再进一步如平均分一样代入u
统计量式子中计算就可以进行分析检验。需要指出的是，有些资料计算方法并非如此，这可能是转换后的结果只有0、1两个，不少人会认为这组数据服从两点分布或二项分布，所以按两点分布求方差S2=p(1-p)，在这里p可以是及格率或优秀率，像上例S=0.65(1?0.65)=0.4770，出入比较大，很明显这并不是两点分布。我认为每个人及格记1分，不及格记0分，班级的“平均数”就是及格率或优秀率，这样理解更自然，按上例方法求标准差及进行检验可能更科学。
2.3 U检验运用条件 在已知样本均值、样本容量及总体的均值及总体的标准差，在每次考试中，这几个数据还是比较容易得到的，u统计量服从标准正态分布，即可以进行U检验。U检验涉及的计算较为简单，把以上四个参数代入公式即得u统计量（如果u值为负则取绝对值），然后与临界值比较，一般以1.96或2.578为临界值，不再另外查表或计算，就可以分析样本均值与总体均值是否具有显著性差异，所以U检验在诸多领域运用广泛。 3．教改结题报告中的成绩分析（T检验，Z检验） 一般而言，教改成绩就是实验班与对比班两个班的成绩比较，能否仅凭这两个班的平均分、优秀率、及格率的差值，立即得出教学效果是否明显呢？统计学认为，这样得出的结论是不可靠的,因为一个班的平均分具有统计意义，存在抽样误差，此数据是在一定范围内波动的，故而我们需要进行显著性差异检验。由于一个班多则也就50多人，少则也有20多人；所以每个班都可以看成一个样本，两个班就可看成从两个总体中抽取出来的双样本，一个总体是实施了教改的，一个是没有实施教改的。当然，这两个总体在这种情形下更多是虚拟的，它们具体的一些数据（平均分，方差等）我们是无从知晓的，也就没有办法直接研究，只能通过研究样本（即实验班及对比班成绩），由样本的数据对总体进行估计，并进行差异显著性检验，才能作出判断。 3.1 Z检验与T检验的区别 第 5 页 共 10 页
不少文章对Z检验还是T检验这两种方法作出了说明，两个总体均值的差异显著性检验中，在不知总体方差及均值情况下且统计量服从t分布，可以使用Z检验或T检验。如果样本容量n大于30，用Z检验，如果样本容量n小于30，则用t检验，在这里样本容量n即为该班人数。很明显，正如前文所说，一个班的人数一般都在30人之上，可以用Z检验。但假如一个班30人以下，另一班30人以上那怎么办？其实在计算机广泛应用计算的今天，不管样本容量n是多少，哪种检验都是可以使用的，且各种检验的基本原理是相同的。下面，不妨先了解这两种检验方法的统计量。 首先，不论哪种检验都要用到以下数据： （a） 两个班的平均分：X1,X2； （b） 两个班的考试人数：n1,n2； 2（c） 两个班的成绩的方差S12,S2，应用excel软件的公式为=var(该班的成绩区域)，数量上，方差=标准差的平方。 t检验或z检验的主要步骤： 第一步，建立虚无假设，即先认为两者没有差异，用H0:X1?X2表示 第二步：计算Z检验或T检验统计量 z=X1?X2SS?n1n22122①，t=x1?x2(n1?1)s?(n2?1)s11(?)n1?n2?2n1n22122②（大分母部分称
22SS12为标准误）。式子中，X1,X2是两个班的平均分，，是两个班分数的方差，n1,n2是两个班考试人数。从函数单调性而言，不论z或t，与u值类似，当两班的方差增大时，其值减小，即两班均分所代表的两总体的均值的差值差异性也到受成绩离散程度影响。 另外，从式子结构看，t统计量要复杂很多，这在计算工具落后的过去，这个计算当然是很繁琐的。想当初，手中可能连计算器都没有，开个方都可能需要手算。据说数学家陈景润证明“1+2”时所用的草稿纸真的达到汗牛充栋地步，可堆满房子，如果换了今天，估计他的稿纸也许高不盈尺。所以我们可以认为，Z检验其实只是T检验的粗略计算而已，二者其实都可使用，只是t值过程稍复杂，但应更精确。 第 6 页 共 10 页
第三步 查表或计算临界值t0 在不知总体方差情形下，两个平均值差服从t分布，查表或计算t临界值要有两个参数，显著水平ɑ，及自由度df。如果考查一个班，df?n?1，如果进行两个班对比，自由度df?n1?n2?2。计算临界值t0，excel软件中公式为：=TINV(ɑ,df)，若令ɑ=0.05，自由度从30至120，临界值t0都约为2，详见下表： 自由度30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 df 临界值2.042 2.021 2.009 2.000 1.994 1.990 1.987 1.984 1.982 1.980 t0 而两个班的人数基本上也在这个幅度内，像U检验一样，根据原始数据算出的t值与临界值t0进行比较，为了简化运算，t0可以取近似数2。 同样，在差异显著情形下，非要区别出相差很多，以令ɑ=0.01，自由度30至120主要的临界值t0如下： 自由度df 临界值t0 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 2.750 2.704 2.678 2.660 2.648 2.639 2.632 2.626 2.621 2.617 第四步 比较t值或z值与t0，作出统计推断 与u检验类似，比较计算出来的t值或z值与临界值t0，如果|t| 84 68 54 52 70 78 70 66 50 82 84 60 64 60 60 78 64 90 62 64 78 68 68 87 64 82 50 50 48 62 50 70 62 52 58 82 72 60 56 76 47 54 54 80 68 50 50 56 74 95 48 80 72 56 48 第 7 页 共 10 页 经计算得，实验班平均分X1?70.83，方差S12=132.3，对比班平均分2=135.2；分别代入Z统计量及T统计量式子中得 X2?61.75，方差S2z= X1?X2SS?n1n22122= 70.83?61.75132.3135.2?3040x1?x2=3.255， t= (n1?1)s?(n2?1)s11(?)n1?n2?2n1n22122= 70.83?61.75(30?1)132.3?(40?1)135.211(?)30?40?23040= 3.25，二者差别不大，均大于临界值t0.05(68)=2，所以可以认为教改验效果明显。 3.2及格率、优秀率的检验 很多教改老师在成绩分析时，主要是对实验班及对比班的平均分进行显著性差异检验，而及格率或优秀率的检验则很少人涉及，这或许不够全面。与U检验一样，对分数稍作转换，然后对处理后的两组数据像平均分显著性检验方法一样进行计算。 例3．如上述例子，作及格率差异显著性分析，及格的分数改为1，不及格的改为0，则两个班的分数表为： 实验班30人： 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 对比班40人： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Y1=80%，Y1=57.5%，算得实验班及格率：方差S12?0.251；对比班及格率：方差S2?0.166，代入式子 2t?y1?y22(n1?1)s12?(n2?1)s211(?)n1?n2?2n1n2?80%?57.5%(30?1)0.251?(40?1)0.16611(?)30?40?23040=2.01>2，同样及格率的检验差异显著第 8 页 共 10 页