发布时间 : 星期日 文章简单的优化模型更新完毕开始阅读b244d6270722192e4536f651
简单的优化模型
一 人在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少？
将人体简化成一个长方体，高a=1.5m(颈部以下)，宽b=0.5m,厚c=0.2m.设跑步距离d=1000m,跑步最大速度vm=5m/s,雨速u=4m/s,降雨量w=2cm/h,记跑步速度为v.按以下步骤进行讨论。
1不考率雨量的方向，设降雨量淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量：跑完全程用时T=d/v=1000/5=200S
我们认为在此过程中，
假设此长方形模型五面淋雨，底面不淋雨，淋雨面积为S=2.2 m，其淋雨量与相同时间静止在雨中相同。则总淋雨量A?w?
d?s?2.44?10?3m3。 v22 雨从迎面出来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为?。建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w, ?之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算??0??30?时的总淋雨量。
将雨的方向分解为水平和竖直，
?,单位时间单位面积的淋雨量变为人相对雨的速度变为v??v?usinw??w(v?usin?)/u，人头顶的淋雨量应为A1?bcdwcos?/v；前面的淋雨量为
A2?w?abd/v??abdw(v?usin?)/uv
(v?usin?)/uv 则总淋雨量为A??A1?A2?dbcwcos?/v?abdw将??0，及??30?分别代入公式得 当??0时，A?1.152?10?3m3
?33当??30?时，A?1.555?10m
3 雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为?。建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w, ?之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少？计算??30?时的总淋雨量。
此题目仅在雨的方向上有所差异，对第二题做微小改动即可，
首先考虑人的速度小于水平方向雨的速度时（v?usin?），两者相对速度
(usin??v)/uv。第二，当雨水平为 v1?usin??v，则A3?dbcwcos?/v?abdw方向的速度小于认得行走速度时（v?usin?），v2?v?usin?，
A3?dbcwcos?/v?abdw(v?usin?)/uv。
由上式易知要使总淋雨量最小，则v取usin?时总淋雨量最小。 当??30?时v?usin?，代入数值计算得A?0.24?10?3m3
4 以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对问题3作图（考虑?的影响），并解释结果的实际意义。
x 10-3A=b*d*w/u*(u*(c*cos(?)+a*sin(?))-a*v)/v data1data2data3data4data5data6data7data8data9data10109876543210 0Aα取不同值时对应的A-v曲线v 实际意义：图像表示在不同角度下，不同速度对淋雨量的影响。首先，在角度相同的条件下，整条曲线随速度增大而下降，在前面式子中，如果去掉定义域，可认为人速度为0时淋雨量为正值，即雨淋在背部和头部是的值为正，淋在前边的值为负，则图像可解释为当速度逐渐增加时，背部淋雨量逐渐减小，渐变为0。当头部淋雨量与前部相同时现实总淋雨量为零，其实为头部淋雨量的两倍，之后随前部淋雨量的增加，总淋雨量不断增加。其次，通过图像可以看出睡觉度的增大，淋雨量会相应的增加，从而使达到最小淋雨量的奔跑速度增加。 5 若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？ 假想一个与雨线垂直的平面P，将人体的前面（背面）和一个侧面向平面P做投影，得其有效受雨面积，从而将问题转化为平面P与顶面淋雨的问题。 二 在考虑最有价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设q?q0??t,?为增长率，又设单位时间的销售量为 x?a?bp （p为价格）。今将销售期分为0 段价格固定，记为p1,p2.求p1,p2的最优值，使销售期内的总利润最大。如果有求销售期T内的总销售量为Q0，再求p1,p2的最优值。 (1)最大利润 设总利润为M(p1,p2) M(p1,p2)??(p1?q0??t)(a?bp1)dt??T(p2?q0??t)(a?bp2)dt2T20T?T?TT3?T(a?bp1)(p1?q0?)?(a?bp2)(p2?q0?)2424 ?ub?T??2bp1?bq0??a?p14?u3b?T??2bp2?bq0??a?p24 ?u?u?0?0?p?p令：1，2 可得最大值： 1b?Tp1?(a?bq0?)2b4 13b?Tp2?(a?bq0?)2b4 （2）① Q0??(a?bp1)dt??T(a?bp2)dt2T20T?aT?bT(p1?p2)2?aT? 是M在Q0bT(p1?p2)2的最优化问题。 ②引入拉格朗日函数 bT(p1?p2)?Q0]2T?TT3?TbT?(a?bp1)(p1?q0?)?(a?bp2)(p2?q0?)??[aT?(p1?p2)?Q0]24242 L(p1,p2,?)?M(p1,p2)??[aT??L(p1,p2,?)b?TbT???2bp1?bq0??a??p142?L(p1,p2,?)3b?TbT???2bp2?bq0??a??p242?L(p1,p2,?)bT?aT?(p1?p2)?Q0?0??2 ?L(p1,p2,?)?L(p1,p2,?)?L(p1,p2,?)???0?p1?p2??令：