发布时间 : 星期一 文章等差数列及其前n项和-复习讲义更新完毕开始阅读b2b533e46394dd88d0d233d4b14e852458fb3927
等差数列及其前n项和-复习讲义
一、知识梳理
1．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． 2．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝3．等差数列的前n项和公式与函数的关系
dd
a1－?n. Sn＝n2＋?2??2
数列{an}是等差数列?Sn＝An2＋Bn (A、B为常数)． 4．等差数列的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，则Sn存在最__小__值． 5．等差数列的判断方法
(1)定义法：an－an－1＝d (n≥2)； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2.
(3)通项公式法：an?pn?q (4)前n项和法：Snn?a1＋an?n?n－1?
或Sn＝na1＋d. 22
?An2?Bn
6．等差数列与等差数列各项和的有关性质
(1)am ，am＋k ，am＋2k ，am＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd. (2)数列Sm ，S2m－Sm ，S3m－S2m ，…也是等差数列． (3)S2n－1＝(2n－1)an.
(4)若n为偶数，则S偶?S奇?7．等差数列与函数
d
在d≠0时，an是关于n的一次函数，一次项系数为d；Sn是关于n的二次函数，二次项系数为，且常数项为0.
2
nd 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 2二、巩固训练
1．已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________.
答案 15解析 ∵{an}为等差数列，∴a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝15. 2．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1等于( ) A．18 B．20 C．22 D．24 答案 B解析 因为S10＝S11，所以a11＝0.又因为a11＝a1＋10d，所以a1＝20. 3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于( ) A．58 B．88 C．143 D．176
11?a1＋a11?11?a4＋a8?
答案 B 解析 S11＝＝＝88.
22
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4．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
答案 35 解析 两个等差数列的和数列仍为等差数列． 设两等差数列组成的和数列为{cn}，由题意知新数列仍为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.
5．如果等差数列?an?中,a3?a4?a5?12,那么a1?a2???a7?（ ）
A．14
B．21
C．28
D．35
【答案】C 【解析】因为a3?a4?a5?12,所以a4?4,所以a1?a2???a7?7a4?28.
6．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于________．
解析：由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78?(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54?a1＋a20＝18
a1＋a2018
?S20＝×20＝×20＝180.
22
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk?2?Sk?24，则k等于 ( )
A．8
B．7
C．6
D．5
答案D解析 ∵Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，∴k＝5.
Sn2n－3a9a38．设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为
Tn4n－3b5＋b7b8＋b4
________．
答案
19a9a3a9a3a9＋a3a6解析 ∵{an}，{bn}为等差数列，∴＋＝＋＝＝. 412b6b6b5＋b7b8＋b42b62b6S11a1＋a112a62×11－319a619∵＝＝＝＝，∴＝. T11b1＋b112b64×11－341b641
9．下面是关于公差d?0的等差数列?an?的四个命题:
p2:数列?nan?是递增数列； p1:数列?an?是递增数列；?a? p4:数列?an?3nd?是递增数列； p3:数列?n?是递增数列；n??其中的真命题为（ ） A．p1,p2 【答案】D
10．已知数列{an}满足递推关系式an＋1＝2an＋2
nnB．p3,p4 C．p2,p3 D．p1,p4
??
?为等差数列，则λ的值是________． ??
??an＋λ
－1(n∈N)，且?n?2?
*
解析 由an＋1＝2an＋2－1，可得
an＋1an12n＋1
＝n＋－n＋1，则222
1an＋1＋λ2n＋1
－an＋λ2nλ
＝n＋1－n－n＋1 222
an＋1an?an－1???11λ1λ＋11
?＝－n＋1－n＋1＝－n＋1，当λ的值是－1时，数列n?是公差为的等差数列．
222222?2???
11．已知数列?an?中满足a1?aa1，an?1?an?n?1n(n?2),则数列?an?的通项公式是________. 2n(n?1)【答案】
aan
【解析】本题考查叠加法求通项公式.因为an?1?an?n?1n两边同除an?1an 3n?1n(n?1) 2 / 5
得
1111111111111??? ????(n?2),所以???,?anan?1n(n?1)n?1na2a112a3a223111n11111. ?(n?2),相加得??1?,因为a1?,带入得an???23n?1anan?1n?1nana1n12． 已知?an?是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6?55，a2?a7?16.令bn?的前n项和为Tn,对任意的n?N,不等式Tn?【答案】100
?4a2n?1?1 (n?N*),记数列?bn?m恒成立,则实数m的最小值是_______. 10013．已知数列?an?的首项为a1?5,前n项和为Sn,且Sn?1?2Sn?n?5(n?N*)，则通项公式?an?为______。 【答案】an?2?6n?1?1
14．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，
2Sn12?an?1?n2?n?,n?N* 则通项公式?an?为______。 n3332213212
解析：当n≥2时，2Sn＝nan＋1－n－n－n，① 2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)－(n－1)－(n－1)，②
333312
两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，
33?an＋1ana2a1a1an?an??
即－＝1，又－＝1，故数列??是首项为＝1，公差为1的等差数列，所以＝1＋(n－1)×1＝n， n＋1n211n?n???
所以an＝n2.
15．设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn＝324，最后6项的和为180 (n>6)，求数列的项数n.
解 由题意可知a1＋a2＋…＋a6＝36①
an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180②
①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5) ＝6(a1＋an)＝216.
n?a1＋an?
∴a1＋an＝36.又Sn＝＝324，∴18n＝324.∴n＝18.
2
16． (1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的
最大值；
(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．
10×915×145
解 (1)方法一 ∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－.
223
5565
－?＝－n＋. ∴a13＝0，即当n≤12时，an>0，n≥14时，an<0， ∴an＝20＋(n－1)×??3?33
12×11?5?∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20＋×?－3?＝130.
2
n?n－1??5?255512553 125
－＝－n2＋n＝－?n－?2＋方法二 同方法一求得d＝－. ∴Sn＝20n＋·. 2??3?32666?24∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
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5
方法三 同方法一求得d＝－.
3
又由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0.∴当n＝12或13时，Sn有最大值． 且最大值为S12＝S13＝130.
(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25， ∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.
??an＝4n－25<0， ①
所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．令?
?an＋1＝4?n＋1?－25≥0， ②?
11
由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6.
44
即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列， 而|a7|＝a7＝4×7－25＝3. 设{|an|}的前n项和为Tn，则 －1?
×?－4? ?n≤6??21n＋n?n2
T＝??n－6??n－7?
66＋3?n－6?＋×4 ?n≥7??2
n
2
??－2n＋23n ?n≤6?，＝?2 ?2n－23n＋132 ?n≥7?.?
17．已知等差数列?an?的公差d大于0,且a3,a5是方程x2?14x?45?0的两根,数列?bn?的前n项和为
Sn,Sn?1?bnn?N??. ?2(1)求数列?an?,?bn?的通项公式; (2)记cn?an?bn,求证:cn?1?cn; (3)求数列
?cn?的前n项和Tn.
2【答案】(1)因为a3,a5是方程x?14x?45?0的两根,且数列
?an?的公差d?0,所以a3?5,a5?9,公差
d?a5?a31?b11
,所以b1?. ?2.所以an?a5??n?5?d?2n?1. 又当n?1时,有b1?S1?5?323
当n?2时,有bn?Sn?Sn?1?b11?bn?1?bn?,所以n??n?2?. 2bn?13n?1111?1?所以数列?bn?是首项为,公比为的等比数列, 所以bn????333?3?(2)由(1)知cn?an?bn??1. n32n?12n?14?1?n?2n?12n?1, 所以c?c??n??0, ,c?n?1nn?13n?133n?13n3n?1所以cn?1?cn. (3)因为cn?an?bn?2n?11352n?1, 则,① T??????n3n3132333n11352n?32n?1Tn?2?3?4???n?n?1,② 3333332312222n?111?11?2?3???n?n?1??2?2?3???n3333333?33由①-②,得Tn? 4 / 5
?2n?1??n?1, ?3整理,得Tn?1?n?1. n312
18.已知在正整数数列?an?中，前n项和Sn满足：Sn＝(an＋2).
8
(1)求证：?an?是等差数列； 1
(2)若bn＝an－30，求数列?bn?前n项和的最小值．
211解析：（1）证明：由Sn＝(an＋2)2，得Sn－1＝(an－1＋2)2(n≥2)．
8811
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋2)2－(an－1＋2)2，
88
整理，得(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0.
∵ 数列?an?为正整数数列，∴ an?an－1?0, ∴ an－an－1＝4，即?an?为等差数列．
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(2)解：∵ S1＝(a1＋2)2，∴ a1＝(a1＋2)2，解得a1＝2.
88∴ an＝2＋4(n－1)＝4n－2.
11
∴ bn＝an－30＝(4n－2)－30＝2n－31.
22令bn?0，得n?31
. 2
∴ S15为前n项和的最小值，即S15＝b1＋b2＋?＋b15＝2(1＋2＋…＋15)－15×31＝－225.
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