发布时间 : 星期四 文章排列、组合问题奇思妙解更新完毕开始阅读b2e11d09866fb84ae45c8db6
排列、组合问题奇思妙解
中学数学中的排列组合是一类思考方式较为独特的问题．它对分析能力要求较高，解法也非常灵活，是高考的难点之一．因此，恰当地选择思想方法，对于解决排力组合问题至关重要。分类计数，分步计数两个原理是解决排列、组合问题的基本方法，利用该两个原理及课堂中学习的常规解法如：特殊元素、特殊位置、插空法、捆绑法、等解决某些问题总觉的较难或者解答较繁．本文列举几例介绍解排列组合问题的非常规解题思路．
一、列举法：把符合条件的安排不重复、不遗漏的一一列举出来，是
最简单、最原始但也是最基本的计数方法．教材中多次应用到，高考中也常用枚举法解决问题．
例1．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法有（ ）
A．5种
B．6种
C．7种
D．8种
解析：根据所给选项数字较小，不难用枚举法解决．
单片买3张，磁盘买2盒，花钱320元；单片买3张，磁盘买3盒，花钱390元；单片买3张，磁盘买4盒，花钱460元；单片买4张，磁盘买2盒，花钱380元；单片买4张，磁盘买3盒，花钱450元；单片买5张，磁盘买2盒，花钱440元；单片买6张，磁盘买2盒，花钱500元．故选购方式有7种，选A．
例2．从1到100的一百个自然数中，每次取出两个数，使其和大于100，这样的取法共有多少种？
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解： 从1到100的一百个自然数中，每次取出两个数，其中必有一个是较小的．我们先按较小的一数枚举，而当较小的数取定以后，使和超过100的另一个相应较大的数不难一一例举，所有情况如下表：
较小 数 1 2 3 ? 49 50 51 ? 99 相应可取的较大数 100 99，100 98，99，100 ? 52，?，100 51，52，?，100 52，?，100 ? 100 取法种数 1 2 3 ? 49 50 49 ? 1 所以共有：1+2+3+?+49+50+49+?+1=2500种不同的取法． 利用枚举法解题，直观性强，是处理排列组合问题的好方法． 二、“正难则反”：解决问题，当正面难以解决时，不妨从反面、侧
面思考，顺繁则逆、正难则反．
例3．有五张卡片，他们的正反面分别写有0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
解析：（1）0不能作百位，但可以作十位或个位．（2）0与1在同张卡片上，因此直接分类既要考虑0又要考虑1分类较复杂．于是先不考虑任何情况算出总数，然后减去0在左边第一位的号码即为所
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求．由于任取三张可以组成不同的三个数的号码有：C5?23?A3，其3中0在左边第一位的号码有：C4?22?A2，
故所求的不同三位数共有：C5?23?A3-C4?22?A2=432 个． 2例4．从1，2，3，?，1995这1995个自然数中，取出9个互不相邻的自然数，有多少种方法？
解析：由于符合题意的条件错综复杂，正面进攻思维受阻，此时采用反面去考虑问题．
问题相当于“9个女生不相邻地插入站成一列横队的1986个男生之间（包括首尾外侧），有多少种方法？”
任意相邻2个男生之间最多站1个女生，队伍中的男学生首尾两侧最多也可各站1个女学生，于是，这就是1987个位置中任选9个位置的组合问题，共有C1987种方法．
三、利用映射关系解题: 就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法.
例5．圆上有10个点，每两点连成一条线段，这些线段在圆内最多有多少个交点？以这些交点为顶点的三角形最多有多少个？ 解析：该题如果用枚举法显然很困难；同样用基本极数原理先算出弦的总数，然后算出交点，在减去圆外和圆上的交点个数亦很困难．利用映射关系，化难为易．
一个交点S是由两条线段p,q相交而得，反之，依题意两条在圆内相交的线段p,q确定一个交点S．即S与（p,q）可建立一一对应关系，又两条线段p,q分别是由圆上的两对点A,B与C,D连接而成．故又可在（p,q）与（A,B,C,D）之间建立一一对应关系．因此若令M={S|题
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9332223中线段的交点}，N={（A,B,C,D）|10个点中，任意四个不同的点组}，则M与N中的元素构成一一对应关系，从而有|M|=|N|但N中元素个数显然为C10=210，所以题中交点为210个．同样的考虑，圆内一个三角形与圆上6个点之间构成一一对应关系，因此题中所求三角形的个数为C10?210个． 四、利用递推关系解题．
例6．有一楼梯共10级，每步只能跨上1级或2级，问要登上最后一级共有多少种走法？
解析：因为每步只能跨上1级或2级，所以最后一步可能从第9级也可能从第8级跨上第10级，向前递推关系不变．设登上第k级有ak种走法，显然a1?1,a2?2，当k＞2时，登上第k级台阶的走法可以分两种情况得到：从第k-1级台阶跨一级登上第k级，或从第k-2级台阶,一步跨两级登上第k级．故当k≥3时，有ak?ak?1?ak?2 ∴a10?a9?a8?2a8?a7???34a2?21a1?89
例7.把圆分成10个不相等的扇形,并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色,但不允许相邻的扇形有相同的颜色,问共有多少种染色法? 解析:前9个扇形依次染色并不难,但第10个扇形既与第九个相邻也与第1个相邻,这两个扇形颜色可能相同也可能不相同,所以直接用记数原理有困难,但建立递推关系并不难．
设将圆分成n个不相等的扇形时,满足题设的染法有an种．依次记n个扇形为s1,?sn.显然a1=3.当n=2时，先对s1染色，有3种方法；s1染色后再对s2染色，有2种方法，故a2=6.当n≥3时，我们依次对s1,s2,?sn染色．对s1染色，有3种方法，对s1染色后再对s2染色有2种方法，同样的对s3,s4?,sn分别有2种方法，由乘法原理共有3·2
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