发布时间 : 星期二 文章2020届高考数学一轮复习第八篇平面解析几何第5节抛物线课时作业理(含解析)新人教A版更新完毕开始阅读b302f7fd03768e9951e79b89680203d8ce2f6acc
第5节 抛物线
课时作业
基础对点练(时间：30分钟)
1．若抛物线y＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为( )
1
(A) (B)1 23(C) 2
(D)2
2
B 解析：设P(xp，yp)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，又点P到焦点F的距离为2，∴由定义知点P到准线的距离为2，∴xP＋1＝2，∴xP＝1，代入抛物11
线方程得|yP|＝2，∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.故选B.
22
2．若抛物线y＝ax的焦点坐标是(0,1)，则a＝( ) (A)1 (C)2
1(B) 41(D) 2
2
1?111?2
B 解析：因为抛物线方程为x＝y，所以其焦点坐标为?0，?，则有＝1，a＝，
a4a4?4a?故选B.
1222
3．已知P为抛物线y＝－6x上一个动点，Q为圆x＋(y－6)＝上一个动点，那么点P4到点Q的距离与点P到y轴距离之和的最小值是( )
317－7(A)
2317－1(C)
2
317－4(B)
2317＋1(D)
2
3
B 解析：结合抛物线的定义知，P到y轴的距离为P到焦点的距离减去，则所求最小23
值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径及，即2
2
?3?213317－4，故选B. 2
6＋??－－＝2?2?22
4．(改编题)若点A，B在抛物线y＝2px(p＞0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为43，则该抛物线方程是( )
232
(A)y＝x
3
(B)y＝3x
2
(C)y＝23x
2
(D)y＝2
3x 3
32
AB＝43，故AB4
A 解析：根据对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是43，故
＝4，正三角形的高为23，故可以设点A的坐标为(23，2)，代入抛物线方程得4＝43p，解得p＝3232
，故所求的抛物线方程为y＝x.故选A. 33
2
5．(改编题)已知直线l1：4x－3y＋7＝0和直线l2：x＝－2，抛物线y＝8x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值是( )
(A)5 (C)3
(B)25 (D)35
C 解析：如图所示，过点P作PH1⊥l1，PH2⊥l2，连接PF，H1F，过F作FM⊥l1，交l1
于M，由抛物线方程为y＝8x，得l2为其准线，焦点为F(2,0)，由抛物线的定义可知|PH1||4×2－0＋7|
＋|PH2|＝|PH1|＋|PF|≥|FH1|≥|FM|＝＝3，故选C. 22
4＋3
6．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C→→
交于A，B两点，如果OA·OB＝－12，那么抛物线C的方程为( )
(A)x＝8y (C)y＝8x
22
2
(B)x＝4y (D)y＝4x
2
2
2
C 解析：由题意，设抛物线方程为y＝2px(p>0)， 直线方程为x＝my＋，
2
p
y＝2px，??联立?px＝my＋，?2?
2
2
消去x得y－2pmy－p＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p，
2
2
pppmp32→→2
得OA·OB＝x1x2＋y1y2＝my1＋my2＋＋y1y2＝my1y2＋(y1＋y2)＋＋y1y2＝－p＝－12
22244
?p＝4，
即抛物线C的方程为y＝8x.
12
7．过抛物线y＝x的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|
4＝________.
解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，题中的抛物线x＝4y的焦点坐标是F(0,1)，直线AB的方程为y＝
3
x＋1，即x＝3(y－1)． 3
2
2
2
?x＝4y，由?
?x＝3y－
2
，
1022
消去x得3(y－1)＝4y，即3y－10y＋3＝0，y1＋y2＝，|AB|
3
16
＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y1＋y2＋2＝.
3
16答案： 3
8．(2019岳阳一模)抛物线y＝2px(p＞0)的焦点为F，AB为抛物线上的两点，以AB为|MN|
直径的圆过点F，过AB的中点M作抛物线的准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为
|AB|__________．
|MN|
解析：由抛物线定义得＝≤22
|AB||AF|＋|BF|为2
. 2答案：
2 2
2
2
|AF|＋|BF|
2|AF|＋|BF|
2|AF|＋|BF|
2
2
22
＝
2|MN|，即的最大值2|AB|
9．过抛物线y＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝5，则|BF|＝________. 解析：由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AF|＝x1＋1＝5?x1＝4，y1＝4x1＝16，
2
根据对称性，不妨取y1＝4， 44
所以直线AB：y＝x－，
33
代入抛物线方程可得，4x－17x＋4＝0， 1
所以x2＝，
45
所以|BF|＝x2＋1＝.
45答案： 4
10．(2018湖南十四校)在平面直角坐标系中，动点M(x，y)(x≥0)到点F(1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)若Q(－4,2)，过点N(4,0)作任意一条直线交曲线C于A，B两点，试证明kQA＋kQB是一个定值．
解析：(1)M到定点F(1,0)的距离与到定直线x＝－1的距离相等， ∴M的轨迹C是一个开口向右的抛物线，且p＝2， ∴M的轨迹方程为y＝4x.
(2)设过N(4,0)的直线的方程为x＝my＋4，
??y＝4x，
联立方程组?
?x＝my＋4?
2
2
2
整理得y－4my－16＝0，
2
设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，
y1－2y2－2y1－2y2－2－8m2－321
又kQA＋kQB＝＋＝＋＝＝－， 2
x1＋4x2＋4my1＋8my2＋816m＋642
1
因此kQA＋kQB是一个定值为－. 2
能力提升练(时间：15分钟)
11．(2019烟台二模)已知直线l1：x＝2，l2：3x＋5y－30＝0，点P为抛物线y＝－8x上的任一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为( )
(A)2 18(C)34 17
2
2
(B)234 16(D)34 15
C 解析：抛物线y＝－8x的焦点为F(－2,0)，准线为l1：x＝2. ∴P到l1的距离等于|PF|，