发布时间 : 星期六 文章安徽省六安一中2019届高三数学一模试卷(文科) Word版含解析更新完毕开始阅读b344d75df02d2af90242a8956bec0975f565a45f
∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，
再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，
故有4≤m≤6，
故答案为：[4，6]．
16．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a= 8 ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值． 【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，
曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，
则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1． 由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切， 故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1， 得ax2+ax+2=0，
又a≠0，两线相切有一切点， 所以有△=a2﹣8a=0， 解得a=8． 故答案为：8．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角A的值； （2）若∠B=
，BC边上中线AM=
，求△ABC的面积．
．
【考点】正弦定理．
【分析】（1）利用正弦定理化边为角可求得cosA=
，从而可得A；
（2）易求角C，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果； 【解答】解：（1）∵∴由正弦定理，得∴A=
；
，∴C=π﹣A﹣B=
， ．
，化简得cosA=
，
（2）∵∠B=
可知△ABC为等腰三角形，
在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC?MCcos120°，即7=解得b=2，
∴△ABC的面积S=b2sinC=
=
．
，
18．某车间将10名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表： 1号 2号 3号 4号 5号 4 5 7 9 10 甲组 5 6 7 8 9 乙组 （I）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；
（II）质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．
【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；等可能事件的概率． 【分析】（1）由表中数据我们易求出两组数据的平均数，代入方差公式后，易求出两组数据的方差，分析平均数，平均数大的一组，表示总体水平高，平均数小的一组，表示总体水平低，平均数相等，表示总体水平相同；方差大的一组，水平差异较大，方差小的一组，水平差异较小．
（2）要计算该车间“质量合格”的概率，我们要先求出从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件总个数，再求出该车间“质量合格”包含的基本事件个数，代入古典概型概率公式，即可求出答案． 【解答】解：（I）依题中的数据可得：
，
∵，
∴两组技工的总体水平相同，甲组中技工的技术水平差异比乙组大． （II）设事件A表示：该车间“质量合格”，
则从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为： （4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9） （5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9） （7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9） （9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9） （10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共25种 事件A包含的基本事件为： （4，9） （5，8），（5，9）
（7，6），（7，7），（7，8），（7，9） （9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9） （10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共17种 ∴
．
．
答：即该车间“质量合格”的概率为
19．已知在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，若SB⊥AC，SA=SC． （1）求证：平面SBD⊥平面ABCD；
（2）若AB=2，SB=3，cos∠SCB=﹣，∠SAC=60°，求四棱锥S﹣ABCD的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）证明AC⊥平面SBD，即可证明平面SBD⊥平面ABCD；
（2）确定底面ABCD是菱形，求出SC，SO，BO，即可求四棱锥S﹣ABCD的体积． 【解答】（1）证明：设AC∩BD=O，连接SO，则 ∵SA=SC，∴AC⊥SO， ∵SB⊥AC，SO∩SB=S， ∴AC⊥平面SBD， ∵AC?平面ABCD，
∴平面SBD⊥平面ABCD；
（2）解：由（1）知，SO⊥平面ABCD，AC⊥BD，∴底面ABCD是菱形， ∴BC=AB=2，
∵SB=3，cos∠SCB=﹣， ∴由余弦定理可得SC=2， ∵∠SAC=60°，
∴△SAC是等边三角形， ∴SO=， ∴BO=， ∴VS﹣ABCD=
=2
．
20．P为圆A：（x+1）2+y2=8上的动点，点B（1，0）．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ． （I）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）当点P在第一象限，且cos∠BAP=
时，求点M的坐标．
【考点】直线和圆的方程的应用． 【分析】（I）由已知|MB|=|MP|，于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2点，以2为长轴长的椭圆，从而可求曲线Γ的方程； （Ⅱ）当点P在第一象限，且cos∠BAP=
，故曲线Γ是以A，B为焦
时，求出P的坐标，可得直线AP方程，代
入椭圆方程，消去y，可得5x2+2x﹣7=0，即可求点M的坐标． 【解答】解：（Ⅰ）圆A的圆心为A（﹣1，0），半径等于2． 由已知|MB|=|MP|，于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2，
故曲线Γ是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，a=，c=1，b=1， 曲线Γ的方程为
+y2=1．…
，|AP|=2
，得P（，
）．…
（Ⅱ）由点P在第一象限，cos∠BAP=于是直线AP方程为y=
（x+1）．
代入椭圆方程，消去y，可得5x2+2x﹣7=0， 所以x1=1，x2=﹣．
由于点M在线段AP上，所以点M坐标为（1，
21．已知函数f（x）=
﹣lnx（a≠0）．
）．…
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=l时，求f（x）在区间[，2]上的最大值和最小值（0.69＜ln 2＜0.70）； （3）求证ln
≤
．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出f（x）的定义域和导数，并化简，讨论a＜0，a＞0，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）求得f（x）在[，2]上的单调区间，可得最大值，再求端点处的函数值，可得最小值；（3）由（2）的最大值，可得f（x）=1﹣﹣lnx≤0，运用不等式的性质，结合对数的运算性质，即可得证．
【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），