发布时间 : 星期一 文章物理学（第五版）马文蔚第1至8章课后习题答案详解更新完毕开始阅读b34aa116cf84b9d528ea7aaa
得石子速度 v?由此可知当,t→∞时,v?(2) 再由v?A(1?e?Bt) BA为一常量,通常称为极限速度或收尾速度． BdyA?(1?e?Bt)并考虑初始条件有 dtBytA?Bt?0dy??0B(1?e)dt
得石子运动方程
y?AAt?2(e?Bt?1) BB1 -15 一质点具有恒定加速度a ＝6i ＋4j,式中a的单位为m·ｓ-2 ．在t＝0时,其速度为零,位置矢量r0 ＝10 mi．求：(1) 在任意时刻的速度和位置矢量；(2) 质点在Oxy 平面上的轨迹方程,并画出轨迹的示意图．
分析 与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时
需根据加速度的两个分量ax 和ay分别积分,从而得到运动方程r的两个分量式x(t)和y(t)．由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即x?x0?v0xt?121axt和y?y0?v0yt?ayt2,两个分运动均22为匀变速直线运动．读者不妨自己验证一下．
解 由加速度定义式,根据初始条件t0 ＝0时v0 ＝0,积分可得
vtt?又由v?0dv??adt??(6i?4j)dt
00v?6ti?4tj
dr及初始条件t＝0 时,r0＝(10 m)i,积分可得 dt
rtt?dr??vdt??(6ti?4tj)dt
r000r?(10?3t2)i?2t2j
由上述结果可得质点运动方程的分量式,即x ＝10＋3t2 y ＝2t2 消去参数t,可得运动的轨迹方程 3y ＝2x -20 m 这是一个直线方程．直线斜率k?dy2?tanα?,α＝33°41′．轨迹如dx3图所示．
1 -16 一质点在半径为R 的圆周上以恒定的速率运动,质点由位置A 运动到位置B,OA 和OB 所对的圆心角为Δθ．(1) 试证位置A 和B 之间的平均加速度为a?(2) 当Δθ分别等于90°、30°、10°2(1?cosΔθ)v2/(RΔθ)；
和1°时,平均加速度各为多少？ 并对结果加以讨论．
分析 瞬时加速度和平均加速度的物理含义不同,它们分别表示为
a?dvΔv和a?．在匀速率圆周运动中,它们的大小分别为dtΔtΔvv2an?,a? ,式中｜Δv｜可由图(B)中的几何关系得到,而Δt 可由转
ΔtR过的角度Δθ 求出．
由计算结果能清楚地看到两者之间的关系,即瞬时加速度是平均加速度在Δt→0 时的极限值．
解 (1) 由图(b)可看到Δv ＝v2 -v1 ,故
22Δv?v1?v2?2v1v2cosΔθ
?v2(1?cosΔθ)
而
Δt?所以
ΔsRΔθ ?vvΔvv2a??2(1?cosΔθ)
ΔtRΔθ (2) 将Δθ＝90°,30°,10°,1°分别代入上式, 得
v2v2a1?0.9003,a2?0.9886
RRv2v2a3?0.9987,a4?1.000
RR以上结果表明,当Δθ→0 时,匀速率圆周运动的平均加速度趋近于一极
v2限值,该值即为法向加速度．
R1 -17 质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为r＝2.0ti ＋(19.0 -2.0t2 )j,式中r 的单位为m,t的单位为s．求：(1)质点的轨迹方程；(2) 在t1＝1.0s 到t2 ＝2.0s 时间内的平均速度；(3) t1 ＝1.0ｓ时的速度及切向和法向加速度；(4)
t ＝1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径ρ．
分析 根据运动方程可直接写出其分量式x ＝x(t)和y ＝y(t),从中消去参数t,即得质点的轨迹方程．平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化
Δr,它与时间间隔Δt 的大小有关,当Δt→0 时,平均速度的极限即Δtdr瞬时速度v?．切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量aｔ 和an ,
dtdvt前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率,即at?e,后者只反映质
dt率,即v?点速度方向的变化,它可由总加速度a 和aｔ 得到．在求得t1 时刻质点的速度
v2和法向加速度的大小后,可由公式an?求ρ．
ρ解 (1) 由参数方程
x ＝2.0t, y ＝19.0-2.0t2
消去t 得质点的轨迹方程：
y ＝19.0 -0.50x2
(2) 在t1 ＝1.00ｓ 到t2 ＝2.0ｓ时间内的平均速度
v?Δrr2?r1??2.0i?6.0j Δtt2?t1(3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为
v(t)?vxi?vyj?dxdyi?j?2.0i?4.0tj dtdtd2xd2ya(t)?2i?2j??4.0m?s?2j
dtdt则t1 ＝1.00ｓ时的速度
v(t)｜t ＝1ｓ＝2.0i -4.0j
切向和法向加速度分别为
att?1s?dvd2?2et?(vx?v2y)et?3.58m?set dtdtan?a2?at2en?1.79m?s?2en
(4) t ＝1.0ｓ质点的速度大小为
2?1v?vx?v2y?4.47m?s