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强化提升一 导数及其应用
层次一：导数的概念、意义及简单应用
突破点(一) 导数的运算
八个公式+三个法则+复合函数求导
已知函数的解析式求导数 [例1] 求下列函数的导数： ?(1)y＝(1－x)1＋
?
[方法技巧]
1?ln?2x＋3?ln x
；(2)y＝；(3)y＝tan x；(4)y＝3xex－2x＋e；(5)y＝2.
xx?x＋1
导数的运算方法
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．
导数运算的应用 [例2] (1)(2016·济宁二模)已知函数f(x)＝x(2 017＋ln x)，f′(x0)＝2 018，则x0＝( ) A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
1
(2)已知f(x)＝x2＋2xf′(2 017)＋2 017ln x，则f′(1)＝________.
2
1
[解析] (1)由题意可知f′(x)＝2 017＋ln x＋x·x＝2 018＋ln x．由f′(x0)＝2 018，得ln x0＝0，解得x0＝1.
2 017(2)由题意得f′(x)＝x＋2f′(2 017)＋x， 所以f′(2 017)＝2 017＋2f′(2 017)＋
2 017
， 2 017
即f′(2 017)＝－(2 017＋1)＝－2 018. 故f′(1)＝1＋2×(－2 018)＋2 017＝－2 018. [答案] (1)B (2)－2 018
[方法技巧]
对抽象函数求导的解题策略
在求导问题中，常涉及一类解析式中含有导数值的函数，即解析式类似为f(x)＝f′(x0)x＋sin x＋ln x(x0
为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，
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即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求的导数值．
突破点(二) 导数的几何意义
求切线方程 [例1] 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程． [解] (1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5， ∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，
∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2， 即x－y－4＝0.
2
(2)设切点坐标为(x0，x30－4x0＋5x0－4)，
∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，
2又切线过点(x0，x30－4x0＋5x0－4)， 32∴x0－4x20＋5x0－2＝(3x0－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0， 解得x0＝2或x0＝1，
∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0. [方法技巧]
求切线方程问题的两种类型及方法
(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程(高考常考类型)，则点P(x0，y0)为切点，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程，则切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)；②根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)
??y1＝f?x1?，在曲线y＝f(x)上，得到方程组?求出切点A(x1，y1)，代入方程y－y1＝f′(x1)(x
?y0－y1＝f′?x1??x0－x1?，?
－x1)，化简即得所求的切线方程．
[提醒] “过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的曲线的切线方程”是不相同的，后者A必为切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．
求切点坐标 1[例2] 设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝x(x＞0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．
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1
[解析] y＝ex的导数为y′＝ex，则曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k1＝e0＝1.y＝(x＞0)的导数为y′
x111
＝－2(x＞0)，设P(m，n)，则曲线y＝(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－2(m＞0)．因为两切线垂直，
xxm所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．
[答案] (1,1)
求参数的值 [例3] 直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等于( ) A．2 B．－1 C．1
3
D．－2
1＋a×1＋b＝3，??2
[解析] 依题意知，y′＝3x2＋a，则?3×1＋a＝k，
??k×1＋1＝3，C.
[答案] C
[方法技巧]
a＝－1，??
由此解得?b＝3，
??k＝2，
所以2a＋b＝1，选
根据导数的几何意义求参数值的思路
根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解． 层次二：函数的单调性、极值最值
突破点(一) 利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间
证明或讨论函数的单调性 判断函数单调性的三种方法 定义法 在定义域内(或定义域的某个区间内)任取x1，x2，且x1 [解] f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋2ax＝. x(1)当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2)当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减； (3)当0 1－a? ，则当x∈?0， 2a?1－a? ?上单调递减，在 2a? 1－a??时，f′(x)<0；当x∈2a? 1－a ，＋∞上单调递增． 2a ?? ?1－a?? ，＋∞?时，f′(x)>0，故f(x)在?0， 2a?? 第 4 页 共 13 页 [方法技巧] 导数法证明或讨论函数f(x)在(a，b)内单调性的步骤 (1)求f′(x)； (2)确定f′(x)在(a，b)内的符号； (3)得出结论：当f′(x)>0时，函数f(x)在(a，b)内单调递增；当f′(x)<0时，函数f(x)在(a，b)内单调递减． [提醒] 讨论含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 求函数的单调区间 xa3[例2] 已知函数f(x)＝＋x－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 421 y＝x，求函数f(x)的单调区间． 2 1a1 [解] 对f(x)求导得f′(x)＝－2－x， 4x 135 由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x，知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝. 244x2－4x－5x53 所以f(x)＝＋－ln x－，则f′(x)＝， 44x24x2令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5， 因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数； 当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数． 所以函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0,5)． [方法技巧] 用导数求函数单调区间的三种类型及方法 (1)当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间． (3)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不可解时求导并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间． 突破点(二) 利用导数解决函数单调性的应用问题 利用导数解决函数单调性的应用问题主要有： (1)已知函数的单调性求参数范围问题：此类问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问，难度中档．有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档．解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解．