发布时间 : 星期五 文章导数及其应用(1)更新完毕开始阅读b35e6e4b24c52cc58bd63186bceb19e8b8f6ec17
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(2)比较大小或解不等式问题：利用导数方法解决此类问题的主要技巧就是灵活地构造函数，通过函数的性质求解．
已知函数的单调性求参数的取值范围 由函数的单调性求参数取值范围的方法 (1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围；
(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，即f′(x)max>0(或f′(x)min<0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围；
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
[例1] 已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围； (2)若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，求a的取值范围； (3)若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值．
[解] (1)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．
(2)因为f(x)在区间(－1,1)上为减函数，所以f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即a的取值范围为[3，＋∞)．
(3)因为f(x)＝x3－ax－1，
所以f′(x)＝3x2－a.由f′(x)＝0，得x＝±因为f(x)的单调递减区间为(－1,1)， 所以
3a
＝1，即a＝3. 3
3a
(a≥0)． 3
应用结论“函数f(x)在(a，b)上单调递增?f′(x)≥0恒成立；函数f(x)在(a，b)上单调递减?f′(x)≤0恒成立”时，切记检验等号成立时导数是否在(a，b)上恒为0. [易错提醒]
比较大小或解不等式 [例2] (1)若0 2 112x(2)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导数f′(x)<，则不等式f(x)<＋的解集为________． 222 第 6 页 共 13 页 x 1xe－1 [解析] (1)构造函数f(x)＝e－ln x，则f′(x)＝e－＝.令f′(x)＝0，得xex－1＝0.根据函数y xx x x 1 ＝ex与y＝的图象可知两函数图象交点x0∈(0,1)，因此f(x)＝ex－ln x在(0,1)上不是单调函数，无法判断 xxex－exex?x－1?exex f(x1)与f(x2)的大小，故A，B错；构造函数g(x)＝，则g′(x)＝＝，故函数g(x)＝在(0,1) xxx2x2上单调递减，故g(x1)>g(x2)，即 ex1ex2 >，则x2ex1>x1ex2，故选C. x1x2 1111 (2)设F(x)＝f(x)－x，∴F′(x)＝f′(x)－，∵f′(x)<，∴F′(x)＝f′(x)－<0，即函数F(x)在R 2222x21x212 上单调递减．∵f(x)<＋，∴f(x)－ 2222 2 ∴F(x2) [方法技巧] 利用导数比较大小或解不等式的常用技巧 利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式． 突破点(三) 利用导数解决函数的极值问题 根据函数图象判断函数极值的情况 [例1] 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) [解析] 由图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值． [答案] D [方法技巧] 知图判断函数极值情况的策略 知图判断函数极值情况的思路是：先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴交点的横坐标为函数的极值点． 第 7 页 共 13 页 求函数的极值 1[例2] (2017·桂林、崇左联考)设a>0，函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋aln x. 2(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处切线的斜率； (2)求函数f(x)的极值． 2 [解] (1)由已知x>0.当a＝2时，f′(x)＝x－3＋x， 2 ∴曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处切线的斜率为f′(3)＝. 3 2 ax－?a＋1?x＋a?x－1??x－a? (2)f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝. xxx 由f′(x)＝0得x＝1或x＝a. ①若0 21 当x＝1时，f(x)取极小值f(1)＝－a－. 2 ②若a>1，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 当x∈(1，a)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 1∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a－； 21 当x＝a时，f(x)取极小值f(a)＝－a2－a＋aln a. 2 ③当a＝1时，x>0时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，f(x)没有极值． 11 综上，当0 2211 当a>1时，f(x)的极大值为－a－，极小值为－a2－a＋aln a； 22当a＝1时，f(x)没有极值． [方法技巧] 第 8 页 共 13 页 已知极值(点)求参数 [例3] (1)(2017·江西八校联考)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( ) 1 0，?C．(0,1) A．(－∞，0) B.??2? D．(0，＋∞) (2)(2017·太原五中检测)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a的值为________． [解析] (1)∵f(x)＝x(ln x－ax)，∴f′(x)＝ln x－2ax＋1， 由函数f(x)有两个极值点，可知f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点， ln x＋1ln x＋1－ln x 令f′(x)＝0，则2a＝x，设g(x)＝x，则g′(x)＝2， x∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 又∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0， 1 而g(x)max＝g(1)＝1，∴只需0＜2a＜1，即0＜a＜. 2 (2)由题意得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为在x＝1处，f(x)有极值10， 所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f(1)＝1＋a＋b＋a2＝10， 解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3， 当a＝－3，b＝3时，在x＝1处，f(x)无极值，不符合题意； 当a＝4，b＝－11时，符合题意，所以a＝4. [答案] (1)B (2)4 [方法技巧] 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． 突破点(四) 利用导数解决函数的最值问题 求函数的最值 [例1] 已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．