发布时间 : 星期五 文章导数及其应用(1)更新完毕开始阅读b35e6e4b24c52cc58bd63186bceb19e8b8f6ec17
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[解] (1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1. f(x)与f′(x)的情况如下：
x f′(x) f(x) (－∞，k－1) － k－1 0 －ek1 －(k－1，＋∞) ＋ 所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)． (2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0 － 当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e. 综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)＝－k； 当1 － 当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e. [方法技巧] 利用导数求函数最值的规律 求函数f(x)在区间[a，b]上的最值时： (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数在闭区间[a，b]上有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成． (3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到． 函数的最值与极值的综合问题 2 [例2] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时， 3y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值． [解] (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，① 2?2 当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′??3?＝0，可得4a＋3b＋4＝0，② 3由①②，解得a＝2，b＝－4. 由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4.所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5. 2(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝. 3 第 10 页 共 13 页 当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示： x f′(x) f(x) －3 8 (－3，－2) ＋ －2 0 13 ?－2，2? 3??－ 2 30 95 27?2，1? ?3?＋ 1 4 95所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为. 27[方法技巧] 解决函数极值、最值问题的策略 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小． (2)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值． 一、选择题 1．已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是( ) 11 0，?和(1，＋∞) B．(0,1)和(2，＋∞)C.?0，?和(2，＋∞) D．(1,2) A.??2??2?2 22x－5x＋2 解析：选C 函数f(x)＝x－5x＋2ln x的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝＝ xx 2 ?x－2??2x－1?11 0，?，(2，＋∞)． >0，解得0 2．若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是( ) 5151 －∞，? B.(－∞，3]C.?，＋∞? A.?8???8? D.[3，＋∞) 解析：选C f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于f(x)在区间[1，4]上单调递减，则有f′(x)≤0在[1，4]上恒成立， 133 x＋?在[1，4]上恒成立，因为y＝即3x2－2tx＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t≥?2?x?2 ?x＋1?在[1，4]上单调递增，所以t≥3?4＋1?＝51，故选C. ?x?2?4?8 c2 x2＋bx＋?的单调递减区间为3.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则函数y＝log2?33??1?( )A.??2，＋∞? B．[3，＋∞)C．[－2,3] D．(－∞，－2) 解析：选D 因为f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由图可知f′(－2)＝f′(3)＝0， ??12－4b＋c＝0，?b＝－2，? ?所以解得??27＋6b＋c＝0，?? 3 ?c＝－18. c2 令g(x)＝x2＋bx＋，则g(x)＝x2－x－6，g′(x)＝2x－1，由g(x) 33 1 ＝x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.当x<时，g′(x)<0，所以g(x)＝x2－x－6在(－∞，－2)上为减函数， 2c2 x2＋bx＋?的单调递减区间为(－∞，－2)． 所以函数y＝log2?33?? 第 11 页 共 13 页 4．(2017·甘肃诊断考试)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1?1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f??2?，c＝f(3)，则( ) A．a D．b 解析：选C 因为当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，所以f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，1)上是1?单调递增函数，所以a＝f(0) b 5．若函数f(x)＝x＋x(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f(x)在下列区间上单调递增的是( ) A．(－2,0) B．(0,1)C．(1，＋∞) D．(－∞，－2) bb 解析：选D 由题意知，f′(x)＝1－2，∵函数f(x)＝x＋(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，∴ xxb 当1－2＝0时，b＝x2，又x∈(1,2)，∴b∈(1,4)．令f′(x)＞0，解得x＜－b或x＞b，即f(x)的单调递 x增区间为(－∞，－b)，(b，＋∞)，∵b∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意，故选D. f?x? 6．已知y＝f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且有f′(x)＋>0，则对于任意的a，b∈(0，＋∞)，当 xa>b时，有( )A．af(a) 解析：选B 由f′(x)＋ xf′?x?＋f?x?[xf?x?]′f?x? >0得>0，即>0，即[xf(x)]′x>0.∵x>0，∴[xf(x)]′>0，xxx 即函数y＝xf(x)为增函数，由a，b∈(0，＋∞)且a>b，得af(a)>bf(b)，故选B. 二、填空题 7．若幂函数f(x)的图象过点 ?2，1?，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为________． ?22? ?2，1?，所以1＝?2?α，α＝2，所以f(x)＝x2，故g(x)＝ 2?2??22? 解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为图象过点 exx2，令g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)<0，得－2 答案：(－2,0) 11，2?上是增函数，8．已知函数f(x)＝x2＋2ax－ln x，若f(x)在区间?则实数a的取值范围为________． ?3?21?11?1??－x＋1?max＝8，，2上恒成立，，2上恒成立，解析：f′(x)＝x＋2a－≥0在?即2a≥－x＋在∵x??3??xx?3?3484?∴2a≥，即a≥. 答案：??3，＋∞? 33 9．已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)·f′(x)>0的解集为________． ??f′?x?>0，x∈?1，＋∞?∪?－∞，－1?， 解析：由题图可知，?不等式(x2－2x－3)f′(x)>0等价于 ?f′?x?<0，x∈?－1，1?，? 第 12 页 共 13 页 ???f′?x?>0，?f′?x?<0，?2或?2解得x∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)． ?x－2x－3>0???x－2x－3<0， 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1) 211?10．若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在??3，＋∞?上存在单调递增区间，则a的取值范围是________． 32121 x－?2＋＋2a.当x∈?，＋∞?时，f′(x)的最大值解析：对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－??2?4?3?2?221?－1，＋∞?.答案：?－1，＋∞? 为f′?＝＋2a.令＋2a＞0，解得a＞－.所以a的取值范围是?3?9?9??9?99 三、解答题 2 11．已知函数f(x)＝x－x＋1－aln x，a>0.讨论f(x)的单调性． 2 2ax－ax＋2 解：由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋2－＝. xxx2设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8. ①当Δ<0，即0 ②当Δ＝0，即a＝22 时，仅对x＝2有f′(x)＝0，对其余的x>0都有f′(x)>0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数． a－a2－8a＋a2－8 ③当Δ>0，即a>22时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，0 22所以f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (0，x1) ＋ x1 0 极大值 (x1，x2) － x2 0 极小值 (x2，＋∞) ＋ a－a2－8a＋a2－8?a－a2－8??a＋a2－8? 此时f(x)在?0，在，上单调递减，在??上单调递增，?，＋∞2222????上单调递增． 12．(2017·郑州质检)已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3 ?f′?x?＋m?在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围． ＋x2·2?? a?1－x?解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x. 当a＞0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)； 当a＜0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a＝0时，f(x)不是单调函数． 第 13 页 共 13 页 a (2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2， 2∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝ 2x－2m?2 .∴g(x)＝x3＋??2＋2?x－2x， x ∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g′(x)＝0在区间(t,3)上有变号零点． ??g′?t?＜0， 由于g′(0)＝－2，∴?g′(t)＜0，即3t2＋(m＋4)t－2＜0对任意t∈[1,2]恒成立， ?g′?3?＞0.? 由于g′(0)＜0，故只要g′(1)＜0且g′(2)＜0， 即m＜－5且m＜－9，即m＜－9；由g′(3)＞0，得m＞－3737 －，－9?. 所以－＜m＜－9.即实数m的取值范围是??3?3 37 . 3