发布时间 : 星期一 文章2020届福建省福州市高三上学期期末质量检测数学(理)试题(解析版)更新完毕开始阅读b3e283f01b5f312b3169a45177232f60dccce774
uuuruuur232323232344②当直线方程为y??时，A(,?),B(?,?),?OA?OB????0,
3333333所以OA?OB.所以?AOB为直角三角形．
③当直线l不与x轴平行时，设其方程为x?ty?m,A(x1,y1),B(x2,y2), 因为直线l与圆相切，所以23|m|?,即3m2?4t2?4?0. 23t?1?x?ty?m?,得,(t2?2)y2?2tmy?m2?4?0. 由?x2y2?1??2?42tmm2?4,y1y2?2. 所以y1?y2??2t?2t?2uuuruuurOA?OB?y1y2?x1x2?y1y2?(ty1?m)(ty2?m)?(1?t2)y1y2?tm(y1?y2)?m2
(1?t2)(m2?4)?2t2m2?m2(t2?2)3m2?4t2?4??0, ?t2?2t2?2所以OA?OB,所以?AOB为直角三角形． 综上所述: ?AOB为直角三角形． 【点睛】
本题考查直线和圆的相切，椭圆的图象和性质，直线和椭圆的位置有关系,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.是中档题. 21．已知函数f?x??cosx?ax2?1. （1）当a?1时，证明：f?x?…0； 2（2）若f?x?在R上有且只有一个零点，求a的取值范围． ?1?【答案】（1）见解析； （2）???,0?U?,???..
?2?【解析】(1) 将a的值代入，再求出函数f?x?的最小值，即可证明；
(2)对a进行分类讨论，当a?0可得函数f(x)有无数个零点，a?0求导数f??x?，确定f??x?为负故a?0符合题意，当a?0时，求导函数f??x?，对导数f??x?再求一次导，再对a进行分类讨论，同时利用奇偶性可得当a?个零点，当0?a?围.
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1时f?x?在R上有且只有一21时，利用零点定理取一个特值，判断出不合题意，得出a的取值范2【详解】 （1）当a?112时，f?x??cosx?x?1，
22所以f(x)的定义域为R,且f(?x)?f(x),故f(x)为偶函数．
0时,f??x???sinx?x， 当x…记g?x??f??x???sinx?x，所以g??x???cosx?1． 因为g??x??0，所以g?x?在?0,???上单调递增， 即f??x?在?0,???上单调递增， 故f??x??f??0??0，
所以f?x?在?0,???上单调递增，所以f?x??f?0??0， 因为f(x)为偶函数,所以当x?R时,f(x)?0.
（2）①当a?0时，f?x??cosx?1，令cosx?1?0，解得x?2k??k???， 所以函数f(x)有无数个零点，不符合题意；
22②当a?0时，f?x??cosx?ax?1?ax?0，当且仅当x?0时等号成立，故a?0符合
题意；
③因为f??x??f?x?，所以f?x?是偶函数， 又因为f?0??0，故x?0是f?x?的零点.
当a?0时，f??x???sinx?2ax，记g?x??f??x???sinx?2ax，则g??x???cosx?2a. 1）当a?1时，g??x???cosx?2a??cosx?1?0， 2故g?x?在?0,???单调递增，故当x?0时，g?x??g?0??0.即f??x??0， 故f?x?在?0,???单调递增，故f?x??f?0??0. 所以f?x?在?0,???没有零点.
因为f?x?是偶函数,所以f?x?在R上有且只有一个零点.
2）当0?a????1时，当x??0,2?时，存在x1??0,?，使得cosx1?2a，且当0?x?x122???时，g?x?单调递减，故g?x??g?0??0，
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即x??0,x1?时，f??x??0，故f?x?在?0,x1?单调递减，f?x1??f?0??0， 又f?2???cos2??a?2???1?4a?2?0，所以f?x1?f?2???0，
2由零点存在性定理知f?x?在?x1,2??上有零点，又因为x?0是f?x?的零点， 故0?a?1不符合题意； 2?1?综上所述，a的取值范围为???,0?U?,???.
?2?【点睛】
本题考查函数和导数的应用，利用导数判断函数的单调性，证明不等式，函数零点个数等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力.考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算，是难题.
?3x?5?t,??2（t为参数）
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?．以坐标原
?y?3?1t?2?点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为??2cos?． （1）求C的直角坐标方程；
11?（2）设点M的直角坐标为5,3， l与曲线C的交点为A,B，求的值． MAMB??【答案】（1）(x?1)?y?1（2）2253 18【解析】(1)根据极坐标与直角坐标的互化求解即可.
(2)设A,B所对应的参数分别为t1,t2,再联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程,利用参数的几何意义与韦达定理求解即可. 【详解】
2（1）由??2cos?,得??2?cos?．
?x??cos?,22将?代入得,x?y?2x, ?y??sin?所以C的直角坐标方程为(x?1)?y?1． （2）设A,B所对应的参数分别为t1,t2,
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?3x?5?t,??2(t为参数 因为直线l的参数方程为??y?3?1t?2?所以M(5,3)在l上
把l的参数方程代入(x?1)?y?1可得t2?53t?18?0, 所以??(53)2?4?18?3?0, 所以t1?t2??53,t1t2?18＞0,
2211|MA|?|MB||t1|?|t2||t1?t2|53????故=.
MAMB|MA|?|MB||t1||t2||t1t2|18【点睛】
本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化,直线和圆的位置关系,以及直线的参数方程的参数的几何意义等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力．考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算. 23．已知函数f(x)?2x?1?x?（1）求m的值；
1的最小值为m． 21222（2）若a,b,c为正实数，且a?b?c?m，证明：a?b?c≥．
3【答案】（1）m?1（2）证明见解析 【解析】(1)分x?11与x?两种情况去绝对值进行讨论即可. 22(2)利用基本不等式证明即可. 【详解】
11?3x?,x?,1??22（1）根据题意,函数f(x)?2x?1?x???
312??x?,x?,?22?所以f(x)为在???,?单调递减,在?,???单调递增,
22??1???1????1?所以f(x)min?f???1,即m?1.
?2?（2）由(1)知,m?1,所以a?b?c?1, 又因为a,b,c为正实数,
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