发布时间 : 星期三 文章2020年高考数学一轮复习专题23正弦定理与余弦定理（含解析）更新完毕开始阅读b40f2764b9f67c1cfad6195f312b3169a551ea21
专题23 正弦定理与余弦定理
一、【知识精讲】 1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝公式 asin Asin Bsin C＝b＝c＝2R c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； 2R2R2R(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝abcb2＋c2－a2cos A＝； 2bcc2＋a2－b2cos B＝； 2aca2＋b2－c2cos C＝ 2ab常见 变形 csin A 111abc1
2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算
2224R2
R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 [微点提醒]
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C； (3)sin
a＝bsin A 一解 bsin A
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B?a>b?sin A> sin B?cos A 考点一 利用正、余弦定理解三角形 【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝________. (2)(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为A.π 2 B.π 3 C.π 4 D.π 6 a2＋b2－c2 4 ，则C＝( ) 【答案】 (1)75° (2)C 【解析】 (1)由正弦定理，得sin B＝ bsin C＝c6×3 32 ＝2， 2 结合b 2 2 2 a2＋b2－c2 4 ， 2abcos C1 所以S△ABC＝＝absin C，所以tan C＝1. 42π 又C∈(0，π)，故C＝. 4 【解法小结】 1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数. 考点二 判断三角形的形状 【例2】 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 B.直角三角形 D.等边三角形 cb(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不确定 【答案】 (1)A (2)B 【解析】 (1)由 cbsin C 因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0， 即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形. (2)由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sinA， ∴sin(B＋C)＝sinA，即sin A＝sinA. π ∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝， 2∴△ABC为直角三角形. 【解法小结】 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 考点三 和三角形面积、周长有关的问题 角度1 与三角形面积有关的问题 【例3－1】 (2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2. (1)求c； (2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积. 【解析】 (1)由sin A＋3cos A＝0及cos A≠0， 得tan A＝－3，又0 所以A＝. 3 2π2 由余弦定理，得28＝4＋c－4c·cos . 3即c＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4. 2 2 2 2