发布时间 : 星期二 文章随机变量的几种收敛及其相互关系更新完毕开始阅读b4954cf3aaea998fcd220e1f
随机变量的几种收敛及其相互关系
则X(?)是服从[0,1)上均匀分布的随机变量,且对任意a?0,b?1,有
P(a?X(?)?b)?b?a.
证明 显然X(?)是(?,F,P)上的随机变量.又 当x?0时,有
P(X(?)?x)?P????0;
当0?x?1时,有
P(X(?)?x)?P(??[0,x))?x;
当x?1时,有
P(X(?)?x)?P(?0)?1,
故X(?)服从[0,1)上均匀分布. 对任意实数a,b,若a?b,则
P(a?X(?)?b)?P????0?b?a,
若a?b,因a?0,b?1,故0?a?1,0?b?1,于是
P(a?X(?)?b)?P???[a,b)??b?a.
总之,有P(a?X(?)?b)?b?a.
引理2.2设F(x)为一分布函数,对任意0?y?1,定义F?1(y)?inf{xF(x)?y},则有
(i)对任意0?y?1和实数b, F?1(y)?b当且仅当y?F(b);
(ii)对任意0?y?1和实数a,b,a?F?1(y)?b当且仅当F(a)?y?F(b). 证 (i)必要性.设F?1(y)?b,由下确界定义知,存在x0?{x|F(x)?y},使
x0?b.因为F(x)单调不减,故F(b)?F(x0)?y.
充分性 设y?F(b),由于F(x)单调不减,且在点b处左连续,故存在x0?b,使y?F(x0)?F(b),
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随机变量的几种收敛及其相互关系
从而有
F?1(y)?x0?b.
(ii)是(i)的直接推论.
引理2.3 设F(x)为一分布函数,则存在(?,F,P)上的随机变量X(?),使
X(?)的分布函数正好是F(x).
证明 在(?,F,P)上定义，设
?(?)??,???0, (2.1)
由引理2.1知, ?(?)是服从[0,1)上均匀分布的随机变量. 因为F(x)单调不减,对任意0?y?1,定义
F?1(y)?inf{xF(x)?y}. (2.2)
显然F?1(y)也是单调不减函数,从而是Borel函数.令
X(?)?F?1(?(?)), ???0, (2.3)
则X(?)是(?,F,P)上的随机变量,且由引理2.2(i)可知
P(X(?)?x)?P(F?1(?(?)?x))?P(?(?)?F(x))?F(x).
因此, X(?)还是以F(x)为分布函数的随机变量.
引理2.4 若分布函数列{Fn(x)}弱收敛于连续的分布函数F(x),则这时收敛关于x是一致的.
证明 对应于F(x)和Fn(x)是同一概率空间(?,F,P)上,类似于引理2.3中的(2.1),(2.2)和(2.3)式,定义函数F?1, Fn?1 (n?1,2?)以及随机变量X和
Xn(n?1,2?),存在性即得证.下证{Xn}依概率收敛于X.
因F(??)?0,F(??)?1,对于任意给定的??0和??0,存在充分大的M>0,使有
F(M)?F(?M)?1??.
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随机变量的几种收敛及其相互关系
对于取定的M,可选取正整数k和m,使有
1/k??,对于取定的m,存在r?0,使有
m/k?M,
0?r?/?(2(2m?1)),
对于取定的r,由引理2.4, Fn(x)?F(x)(n??)关于x是一致的,因而存在正整数N,使当n?N时,有
|Fn(x)?F(x)|?r (2.4)
对一切x?(??,??)成立,从而当n?N时,有
P(|Xn?X|)???P(|Fn?1(?)?F?1(?)|??)?P(|Fn?1(?)?F?1(?)|?1/k)
?P(?[|Fn?1(?)?i/k|?1/(2k))?(F?1(?)?i/k?1/(2k))])
i?mmm?P(?[(?1/(2k)?Fn?1(?)?i/k?1/(2k))?(?1/(2k)?F?1(?)?i/k?1/(2k))])
i?m=?P((?1/(2k)?Fn?1(?)?i/k?1/(2k))?(?1/(2k)?F?1(?)?i/k?1/(2k)))
i??mmm?i??m?P([F(i/k?1/(2k))???F(i/k?1/(2k))]?[F(i/k?i/(2k))???F(i/k?1/(2k))])nn?i??mm?P(F(i/k?1/(2k))?r???F(i/k?1/(2k))?r) ?[F(i/k?1/(2k))?F(i/k?1/(2k))?2r]
m?i??m=F(m/k?1/(2k))?F(?m/k?1/(2k))?2(2m?1)r
?F(M)?F(?M)?2(2m?1)r?1?2?.
由?,?的任意性知{Xn}依概率收敛于X,定理得证.
对给定的分布函数F(x),由于可以在不同的概率空间上定义随机变量X ,使X 的分布函数为F(x),故无法讨论X的唯一性.但我们猜测下述结论成立.
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3 r阶收敛与几乎处处收敛的关系
在一般情况下,不能由几乎处处收敛推出r阶收敛。那么,在何种场合下,以上的r阶收敛与几乎处处收敛中一种收敛性能导致另一种收敛性呢?这就是本文要讨论的问题,本文在一定条件下得到了这两种收敛性的等价关系, 本节约定所涉及定义1.1 ，定义1.2。具体结果表述为如下定理:
定理3.1 1)设存在r?0使Xrn???X,且
??E|Xn(?)?X(?)|r?? (3.1)
n?1则
X??a.s.n(?)?X(?) (3.2)
2)如(3.2)式成立,且Xn几乎处处有界,即存在正数 c ,使得
P(|Xn(?)|?c)?1 (3.3)
则对任r?0 ,
X(?)??rn?X(?) (3.4)
证明:1)设(3.1)式成立,往证
?P(?|Xn(?)?X(?)|r??)?1 (3.5)
n?1用反证法:若(3.5)式不成立,则必有
?P(?|Xn(?)?X(?)|r??)?p?0 (3.6)
n?1定义事件
NAN?{?|Xn(?)?X(?)|r??} (3.7)
i?1其中??0为给定的数。 易见,AN单调非降,因此
?NlimArN??N??AN?(?|Xn(?)?X(?)|??) (3.8)
N?1i?1 11