发布时间 : 星期六 文章2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题16直线与圆教学案理含解析更新完毕开始阅读b523f644a65177232f60ddccda38376baf1fe067
故圆C的方程为(x－2)＋y＝4， 展开得x＋y－4x＝0.
(2)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( ) A.(x＋3)＋(y－1)＝1
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B.(x－3)＋(y＋1)＝1
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C.(x＋3)＋(y＋1)＝1
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D.(x－3)＋(y－1)＝1
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答案 C
解析 到两直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立方程组
??3x－4y＋5＝0，?
?y＝－x－4，?
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??x＝－3，
解得?
?y＝－1.?
两平行线之间的距离为2，所以半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)
＋(y＋1)＝1.故选C.
【感悟提升】解决与圆有关的问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
【变式探究】已知a∈R，方程ax＋(a＋2)y＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
答案 (－2，－4) 5
解析 由已知方程表示圆，则a＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a＝－1时，原方程为x＋y＋4x＋8y－5＝0， 化为标准方程为(x＋2)＋(y＋4)＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．
【变式探究】已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a,2)，B(－4，a)，C(2a＋2,2)，则△ABC的外接圆的方程是( )
A．x＋(y－3)＝5 B．x＋(y＋3)＝5 C．(x－3)＋y＝5 D．(x＋3)＋y＝5 解析：由题意得2a＝－4，∴a＝－2，
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∴圆的半径为＝
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BC－4＋2
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＋－2－22
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＝5，圆心为(－3,0)，
∴圆的方程为(x＋3)＋y＝5，故选D. 答案：D
题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系
例3、(1)[2018·全国卷Ⅰ]直线y＝x＋1与圆x＋y＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________. 【解析】由x＋y＋2y－3＝0，得x＋(y＋1)＝4. ∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.
|1＋1|
圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝2，
2∴|AB|＝2r－d＝24－2＝22. 【答案】22
(2)[2016·山东卷]已知圆M：x＋y－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)＋(y－1)＝1的位置关系是( ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
?x＋y－2ay＝0?
【解析】方法一：由?
??x＋y＝0
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得两交点为(0,0)，(－a，a)．
∵圆M截直线所得线段长度为22， ∴a＋－a2
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＝22.又a>0，∴a＝2.
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∴圆M的方程为x＋y－4y＝0，即x＋(y－2)＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2. 又圆N：(x－1)＋(y－1)＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1， ∴|MN|＝
0－1
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＋2－1
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＝2.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴两圆相交． 方法二：∵x＋y－2ay＝0(a>0)?x＋(y－a)＝a(a>0)， ∴M(0，a)，r1＝a.依题意，有以下同方法一． 【答案】B
【举一反三】[2018·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，
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a2
＝a－2，解得a＝2.
2→→
以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB·CD＝0，则点A的横坐标为________． 解析：设A(a,2a)，则a＞0.
又B(5,0)，故以AB为直径的圆的方程为(x－5)(x－a)＋y(y－2a)＝0. 由题意知C?
??x－5由?
?y＝2x，???x＝1，解得?
?y＝2，?
?a＋5，a?.
?
?2?
x－a＋yy－2a＝0，
??x＝a，
或?
?y＝2a.?
∴D(1,2)．
→→→→a＋5
又AB·CD＝0，AB＝(5－a，－2a)，CD＝(1－，2－a)，
2∴(5－a，－2a)·(1－解得a＝3或a＝－1. 又a＞0，∴a＝3. 答案：3
【方法技巧】弦长的求解方法
(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2r－d(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．
(2)根据公式：l＝1＋k|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)．
(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解.
【变式探究】(1)设圆C1：x＋y＝1与圆C2：(x－2)＋(y＋2)＝1，则圆C1与圆C2的位置关系是( ) A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 答案 A
解析 圆心距为2＋－2故两圆外离．
(2)已知直线4x－3y＋a＝0与⊙C：x＋y＋4x＝0相交于A，B两点，且∠ACB＝120°，则实数a的值为( ) A．3 B．10 C．11或21
D．3或13
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a＋5
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，2－a)＝a－5a－＝0， 222
＝22>1＋1，
答案 D
解析 圆的方程整理为标准方程即(x＋2)＋y＝4，
作CD⊥AB于点D，由圆的性质可知△ABC为等腰三角形，其中|CA|＝|CB|， 1
则|CD|＝|CA|×sin 30°＝2×＝1，
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即圆心(－2,0)到直线4x－3y＋a＝0的距离为d＝1， 据此可得
|－8＋0＋a|4＋－3
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＝1，
即|a－8|＝5，解得a＝3或a＝13.
【感悟提升】(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．
(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．
【变式探究】(1)已知直线y＝ax与圆C：x＋y－2ax－2y＋2＝0交于两点A，B，且△CAB为等边三角形，则圆C的面积为________． 答案 6π
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(2)如果圆(x－a)＋(y－a)＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a的取值范围是( ) A．(－3，－1)∪(1,3) B．(－3,3) C．[1,1] D．[－3，－1]∪[1,3] 答案 D
解析 圆心(a，a)到原点的距离为|2a|，半径r＝22，圆上的点到原点的距离为d.因为圆(x－a)＋(y2
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－a)＝8上总存在点到原点的距离为2，则圆(x－a)＋(y－a)＝8与圆x＋y＝2有公共点，r′＝2，所以r－r′≤|2a|≤r＋r′，即1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1，所以实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3].
【变式探究】已知⊙C：x＋y－4x－6y－3＝0，M(－2,0)是⊙C外一点，则过点M的圆C的切线的方程是( ) A．x＋2＝0或7x－24y＋14＝0 B．y＋2＝0或7x＋24y＋14＝0 C．x＋2＝0或7x＋24y＋14＝0 D．y＋2＝0或7x－24y＋14＝0
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