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西安电子科技大学课程论文
数学软件与实验
最速下降法求最优解
姓名：方正阳 学号：07117020 班级：071171
07112016、最速下降法求最优解
MATLAB 结课大作业
摘要：最速下降法,又称为梯度法，是一种重要的无约束最优化方法。它是 1847
年由著名数学家 Cauchy 给出的，其他解析方法或是它的变形，或是受它 启发而得到，因此它是最优化方法的基础。该法将 n 维问题转化为一系列 不断迭代过程中沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，本次程序设计 利用最速下降法算法，反复迭代，最终收敛于局部最优点，即为解出的二 元函数的无约束非线性规划问题 minf(x,y)。
引言：最优化理论作为运筹学中的一个重要理论方法，在工业生产,金融经济活 动,工商管理,国防建设,计算机应用中，都有着重要的应用。最优化理论 通过给出生产活动中的各类实际问题的数学模型，通过最优化方法，寻求 该问题的最优解或满意解。最速下降算法是最优化理论中常见的一个重要 算法，理论证明：最速下降算法在一定条件下是收敛的，它能够有效地求 解一部分无约束最优化问题。
一、 实验目的
熟悉最速下降法算法思想和步骤，用 MATLAB 语言编程最速下降法 求最优值。
二、 实验要求
y ??f (x1, x2 ,?, xn ) 的局部最小值，
在最优化计算方法中，要求解 可
0 0 0 0 ) x??(x1 , x2 ,?, xn 以采用如下的方法进行迭代计算：先给出初始点 ，然后
0
????f (x0 )) y(?) ??min f (x 1 ?f (x) ，计算一元函数 ??0 根据其梯度方向 ，并
0
) ??1 ??f (x 。如此反复迭代，最终收敛于局部最优点。 实现 x ??x 得到
该算法，求 的最优值，a,b,c,d 自定（非 0）
1 0 0
三、 实验假设
考虑到参数的随机性、代表性，验证程序的正确性、典型性，在此 我们从两个角度出发，一是在 abcd 值确定的情况下改变初始搜索位置 x0,看函数最优解是否相同；二是初始搜索位置 x0 相同，abcd 值不同的 情况下，看函数最优解是否相同。
1. 不妨令 a,b,c,d 分别为 1,2,3,4，即
f ??x, y ??????x ?1???3??y ??2???3xy ??4
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求其梯度函数（代码行间距已缩小）
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>> syms x y
>> f=inline('[(x-1).^2+3*(y-2).^2+3*x*y+4]','x','y') f =
Inline function:
f(x,y) = [(x-1).^2+3*(y-2).^2+3*x*y+4] >> grad=[diff(f(x,y),x),diff(f(x,y),y)] grad =
[ 2*x + 3*y - 2, 3*x + 6*y - 12]
2. 令 a,b,c,d 分别为 4,3,2,1，即
f ??x, y ??????x ??4???3??y ??3???2xy ?1
2
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求其梯度函数（代码行间距已缩小） >> clear >> syms x y
>> f=inline('[(x-4).^2+3*(y-3).^2+2*x*y+1]','x','y'); >> grad=[diff(f(x,y),x),diff(f(x,y),y)] grad =
[ 2*x + 2*y - 8, 2*x + 6*y - 18]
四、 程序设计
1. 无约束问题的最优性条件
原理 1：设 f : Rn ??R1 在点 x ??Rn 处可微。若存在 p ??Rn ，使 ?f (x)T p ??0 ，
则向量 P 是 f 在点 x 处的下降方向。
原理 2：设 f : Rn ??R1 在点 x* ??Rn 处可微。若 x* 是无约束问题的局部最
优解，则?f (x* ) ??0 ，由数学分析中我们已经知道，使?f (x) ??0 的点 x 为函数 f 的驻点或平稳点。函数 f 的一个驻点可以是极小 点；也可以是极大点；甚至也可能既不是极小点也不是极大点， 此时称它为函数 f 的鞍点。以上定理告诉我们， x 是无约束问题 的的局部最优解的必要条件是： x 是其目标函数 f 的驻点。 原
理 3：设 f : Rn ??R1 在点 x* ??Rn 处的 Hesse 矩阵 ?2 f (x* ) 存在。若
?f (x* ) ??0 ，并且 ?2 f (x* ) 正定，则 x* 是无约束问题的严格局部
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