发布时间 : 星期三 文章2019版高考数学一轮复习第五章数列第31讲数列求和学案更新完毕开始阅读b5c11e4e182e453610661ed9ad51f01dc3815703
第31讲 数列求和
考纲要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式． 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. 考情分析 2016·全国卷Ⅱ，17 2016·江苏卷，18 2016·北京卷，12 分值：5分
1．公式法与分组求和法 (1)公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和． ①等差数列的前n项和公式：
命题趋势 利用公式求数列的前n项和，利用常见求和模型求数列的前n项和. n?a1＋an?n?n－1?Sn＝＝__na1＋d__.
2
2②等比数列的前n项和公式：
na1，q＝1，??
Sn＝?a1－anqa1?1－qn?＝____，q≠1.?1－q?1－q(2)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法分别求和后相加减．
2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
(2)并项求和法
在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 形如an＝(－1)f(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝100－99＋98－97＋…＋2－1＝(100－99)＋(98－97)＋…＋(2－1)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
3．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
2
2
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2
2
2
n(2)常见的裂项技巧 ①②③④
111
＝－.
n?n＋1?nn＋11?11?1
＝?－?.
n?n＋2?2?nn＋2?
1?11?1－＝??.
?2n－1??2n＋1?2?2n－12n＋1?
1
n＋n＋1
＝n＋1－n.
4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n项和时使用公式Sn＝理．( √ )
(2)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝(3)当n≥2时，
111
＝－.( × ) n－1n－1n＋1
2
3
n?a1＋an?
2
较为合a1－an＋1
.( √ ) 1－q(4)求Sn＝a＋2a＋3a＋…＋na时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．( × )
(5)如果数列{an}是周期为k的周期数列，那么Skm＝mSk(m，k为大于1的正整数)．( √ )
解析 (1)正确．根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知． (2)正确．根据等比数列的求和公式和通项公式可知． (3)错误．直接验证可知1?11?1－＝??.
n－12?n－1n＋1?
2
2n(4)错误．含有字母的数列求和常需要分类讨论，此题需要分a＝0，a＝1，以及a≠0且a≠1三种情况求和，只有当a≠0且a≠1时才能用错位相减法求和．
(5)正确．根据周期性可得．
?1?2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ?1＋?，则a5＝( D )
?
n?
A．1＋ln 2 C．3＋ln 5
B．2＋ln 3 D．2＋ln 5
n＋1?1?解析 因为an＋1－an＝ln ?1＋?＝ln ＝ln (n＋1)－ln n，
?n?
n所以a5－a1＝(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)
＝(ln 5－ln 4)＋(ln 4－ln 3)＋(ln 3－ln 2)＋(ln 2－ln 1) ＝ln 5－ln 1＝ln 5，所以a5＝a1＋ln 5＝2＋ln 5，故选D．
3．若数列{an}的通项公式为an＝2＋2n－1，则数列{an}的前n项和为( C )
nA．2＋n－1 C．2
n＋1
n2
B．2
n＋1
＋n－1
2
＋n－2
2
D．2＋n－2
n解析 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(2＋2×1－1)＋(2＋2×2－1)＋(2＋2×3－1)＋…＋(2＋2n－1)＝(2＋2＋…＋2)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n
2?1－2?n?n＋1?n2
＝＋2×－n＝2(2－1)＋n＋n－n
1－22＝2
n＋1
nn1
2
3
n2
＋n－2.
n2
4．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)(3n－2)，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝( A ) A．15 C．－12
nB．12 D．－15
解析 ∵an＝(－1)(3n－2)，∴a1＋a2＋a3＋…＋a10 ＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28
＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋(－13＋16)＋(－19＋22)＋(－25＋28)＝3×5＝15. 5．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2(n∈N)，则Sn＝__(n－1)2
n*
n＋1
＋2__.
解析 ∵an＝n·2，
∴Sn＝1·2＋2·2＋3·2＋…＋n·2.① ∴2Sn＝1·2＋2·2＋…＋(n－1)·2＋n·2①－②，得－Sn＝2＋2＋2＋…＋2－n·2
n2
3
2
3
1
2
3
nnnn＋1
.②
nn＋1
2?1－2?n＋1n＋1n＋1n＋1
＝－n·2＝2－2－n·2＝(1－n)2－2.
1－2∴Sn＝(n－1)2
n＋1
＋2.
一 分组法求和
分组求和法的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝?可采用分组求和法．
【例1】 已知等差数列{an}满足a5＝9，a2＋a6＝14. (1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋qan(q＞0)，求数列{bn}的前n项和Sn. 解析 (1)设数列{an}的公差为d，
??a1＋4d＝9，
则由a5＝9，a2＋a6 ＝14，得?
?2a1＋6d＝14.?
??bn，n为奇数，??cn，n为偶数
{cn}是等比或等差数列，的数列，其中数列{bn}，
??a1＝1，
解得?
?d＝2.?
所以{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)由an＝2n－1得bn＝2n－1＋q2n－1
.
1
3
5
7
2n－1
当q＞0且q≠1时，Sn＝[1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)]＋(q＋q＋q＋q＋…＋q)＝
q?1－q2n?
n＋2；
1－q2
当q＝1时，bn＝2n，则Sn＝n(n＋1)．
n?n＋1?，q＝1，??
所以数列{bn}的前n项和Sn＝?2q?1－q2n?
n＋2，q＞0且q≠1.?1－q?
二 错位相减法求和
利用错位相减法求和的两点注意
(1)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．同时要注意等比数列的项数是多少．
【例2】 若公比为q的等比数列{an}的首项a1＝1，且满足an＝(1)求q的值；
(2)设bn＝n·an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解析 (1)由题意易知2an＝an－1＋an－2， 即2a1qn－1
an－1＋an－2
2
(n＝3,4,5，…)．
＝a1qn－2
＋a1qn－3
.
12
∴2q－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.
2