发布时间 : 星期日 文章河北衡水中学2015-2016年度高一下学期期中考试理科数学试卷(解析版)更新完毕开始阅读b5d4406381c4bb4cf7ec4afe04a1b0717fd5b39a
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【点评】本题考查的知识点是空间线面垂直与线线垂直之间的转化，组合几何体的体积，熟练掌握空间线线垂直与线面垂直的之间的相互转化是关键． 20．（12分）（2014春凉州区校级期末）如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC=BC． （1）求证：AM⊥平面EBC； （2）求二面角A﹣EB﹣C的大小．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明． （2）建立空间直角坐标，利用向量法求二面角的大小． 【解答】解：∵四边形ACDE是正方形，所以EA⊥AC，AM⊥EC， ∵平面ACDE⊥平ABC， ∴EA⊥平面ABC， ∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴， 分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．
设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2）， ∵M是正方形ACDE的对角线的交点， ∴M（0，1，1）． （1）
，
，
∴
∴AM⊥EC，AM⊥CB， ∴AM⊥平面EBC． （2）设平面EBC的法向量为∴
．
，则
且
，
，
∴又∵
，取y=﹣1，则x=1，则为平面EBC的一个法向量，且）
． ，
//
∴，
设二面角A﹣EB﹣C的平面角为θ，则∴二面角A﹣EB﹣C等60°．
，
【点评】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的大小，运算量较大． 21．（12分）（2014石景山区一模）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是
，D是AC的中点．
（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD； （Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；
（Ⅲ）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）连结AB1交A1B于M，连结B1C，DM，由已知条件得四边形AA1B1B是矩形，由三角形中位线能证明B1C∥平面A1BD．
（Ⅱ）作CO⊥AB于O，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出二面角A1﹣BD﹣A的大小． （Ⅲ）设E（1，x，0），求出平面B1C1E的法向量，利用向量法能求出存在点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，且． 【解答】（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连结AB1交A1B于M，连结B1C，DM， 因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱， 所以四边形AA1B1B是矩形， 所以M为A1B的中点． 因为D是AC的中点，
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所以MD是三角形AB1C的中位线，…（2分） 所以MD∥B1C．…（3分） 因为MD?平面A1BD，B1C?平面A1BD， 所以B1C∥平面A1BD．…（4分）
（Ⅱ）解：作CO⊥AB于O，所以CO⊥平面ABB1A1， 所以在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中， 如图建立空间直角坐标系O﹣xyz． 因为AB=2，
，D是AC的中点．
，
，
是平面A1BD的法向量，
，
所以A（1，0，0），B（﹣1，0，0），（5分） 所以 设
，…
．
所以令所以由题意可知
即
，则y=2，z=3，
是平面A1BD的一个法向量．…（6分）
是平面ABD的一个法向量，…（7分）
所以．…（8分）
所以二面角A1﹣BD﹣A的大小为（Ⅲ）解：设E（1，x，0），则
设平面B1C1E的法向量
．…（9分） ，
，
所以即
//
令
，则x1=3，
，
，…（12分）
又，即，解得，
所以存在点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD且．…（14分）
【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法，考查满足条件的点判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 22．（12分）（2014益阳模拟）如图，在三棱锥C﹣ABD中，AC⊥CB，AC=CB，E为AB的中点，AD=DE=EC=2，CD=2
．
（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ABD； （Ⅱ）求直线BD与平面CAD所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出CE⊥DE，CE⊥AB，由此能证明CE⊥平面ABD，从而得到平面ABC⊥平面ABD．
（Ⅱ）以E点为坐标原点，建立直角坐标系，利用向量法能求出直线DB与平面ADE所成角的正弦值． 【解答】（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：在△CDE中，∴
， ，