发布时间 : 星期日 文章立体几何向量法教师版4.10更新完毕开始阅读b6a3e3db0b4c2e3f562763ac
（2） 证明AF?平面
A1ED
（3） 求二面角A1?ED?F的正弦值。
【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。 【思路点拨】建立空间直角坐标系或常规方法处理问题。
【规范解答】方法一：以A为坐标原点，AB所在直线为X轴，AD所在直线为Y轴建立空间直角坐标系（如
图所示），设AB?1,依题意得D(0,2,0),F(1,2,1),A,0? 1(0,0,4),E?1,?3?2??
????????????????????????1?????EF?A1D3（1） 易得EF??0,,1?,A，于是， cosEF,AD???D?(0,2,?4)?????????1152??EFA1D所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为
3。 5???????????3????1?（2） 证明：已知AF?(1,2,1),EA1???1,?,4?,ED???1,,0?
2?2???????????????????于是AF·EA1=0，AF·ED=0.因此，AF?EA1,AF?ED,又EA1?ED?E
所以AF?平面A1ED
?1?????y?z?0????2?u?EF?0(3)解：设平面EFD的法向量u?(x,y,z)，则?????,即? ????x?1y?0?u?ED?0??2不妨令X=1,可得
??。由（2）可知，AF为平面AED的一个法向量。 u?(1,2?1）1????于是cos?AF2u,==，从而sinu,AFuAF3|u||AF|????=5 3第 5 页 共 10 页
所以二面角A1-ED-F的正弦值为
5 34. （2010·重庆高考文科·Ｔ20）如题图，四棱锥P?ABCD中， 底面ABCD为矩形，PA?底面ABCD，PA?AB?2， 点E是棱PB的中点.
（I）证明：AE?平面PBC；
（II）若AD?1，求二面角B?EC?D的平面角的余弦值. 【命题立意】本小题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，
考查余弦定理及其应用，考查空间向量的基础知识和在立体几何中的应用，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合的思想，考查化归与转化的思想.
【思路点拨】（1）通过证明线线垂直证明结论：线面垂直，（II）作出二面角的平面角，再利用三角函数、余弦定理等知识求余弦值.或建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明垂直和求出有关角的三角函数值.
【规范解答】（I）以A为坐标原点，
射线AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴， 建立空间直角坐标系A?xyz.如图所示.
设设D(0,a,0)，则B(2,0,0)，C(2,a,0)，P(0,0,2)，
????????2222E(,0,)，BC?(0,a,0)，,0,)。于是AE?(2222uuuruuuruuuruuur????PC?(2,a,?2)，则AE?BC?0,AE?PC?0，
uuuruuuruuuruuur所以AE?BC,AE?PC，故AE?平面PBC.
?????????22（?，0，）（II）设平面BEC的法向量为n1，由（Ⅰ）知，AE?平面BEC，故可取n1?EA?.
22uuruuuruuruuur???????（0,1,0）设平面DEC的法向量n2?，则n2?DC?0,n2?DF?0，，由AD?1，得D，（x2,y2,z2）G， （2,1,0）?x2?0????22?（,-1,）从而DC?（2,0,0），DE?，故?2，所以x2?0，z2?2y2，222x2?y2?z2?0??22第 6 页 共 10 页
?????????????n1?n23???????可取y2?1，则n2?，从而cos?n1,n2????. （01，，2）3n1n2【方法技巧】（1）用几何法推理证明、计算求解；（2）空间向量坐标法，通过向量的坐标运算解题. 5. （2010·江西高考文科·Ｔ２０）
如图，?BCD与?MCD都是边长为2的正三角形，
A平面MCD?平面BCD，AB?平面BCD，AB?23. （1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小； （2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值.
BMD 【命题立意】本题主要考查空间几何体的线线、线面与面面垂直关系及平行关系，考查空间线面角、二面角的问题以及有关的计算问题，考查空间向量的坐标运算，考查数形结合思想，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、划归转化能力和运算求解能力。
【思路点拨】本题主要有两种方法，法一：几何法（1）直接找出线面角，然后求解；
（2）对二面角的求法思路， 一般是分三步①“作”，②“证”，③“求”. 其中“作”是关键， “证” 是难点.法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量中的法向量求解.
【规范解答】取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD?平面BCD,则MO⊥平面BCD.
以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.OB=OM=3，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，
BMDOAzC0，3），B（0，-3，0），A（0，-3，23）， （1）设直线AM与平面BCD所成的角为?.
y??????因AM?（0，3，?3），平面BCD的法向量为n?(0,0,1).则有
xC????????????AM?n32?sin??cosAM,n??????，所以??45. ???26AM?n?????????（2）CM?(?1,0,3)，CA?(?1,?3,23).
????????????x?3z?0?n1?CM?设平面ACM的法向量为n1?(x,y,z)，由??????得. ??????x?3y?23z?0?n1?CA第 7 页 共 10 页
???解得x?3z，y?z，取n1?(3,1,1).又平面BCD的法向量为n?(0,0,1)，
??????n?n11225则cos?n1,n????1??设所求二面角为?，则sin??1?(. )?555n1?n【跟踪模拟训练】
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.已知点A（-3,1,-4），则点A关于x轴的对称点的坐标为( ) (A)（-3,-1,4）(B)(-3,-1,-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4)
2.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 3. 设动直线x?a与函数f(x)?2sin(2?4?x)和g(x)?3cos2x的图象分别交于M、N两点，则
|MN|的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．3 4. 在直角坐标系中，设A(3,2)，B(?2,?3)，沿
y轴把坐标平面折成120o的二面角后，AB的长为
（ ）
A．6 B．42 C．23 D．211
5. 矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）
125
?12A． 125
?9B． 125
?6C． 125
?3D．
AD?b，AAM为A1C1与B1D1的交点。1?c6. 如图：在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，若AB?a，
则下列向量中与BM相等的向量是（ ）
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