发布时间 : 星期日 文章2018无锡市一模数学试题含答案更新完毕开始阅读b6b98c27c4da50e2524de518964bcf84b8d52d78
2018届无锡高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
1. 3 2. 6 3. 47 4.
π1
5. 21 6. 50π 7. 5 8. 9. 1 024 10. 19 11. 8 12. 6 126
7?13. (－2，0) 14. (－∞，－1]∪??2，＋∞?
15. 解析：(1) 因为DE⊥平面ABCD，
所以DE⊥AC. (2分)
因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD.(4分)
因为DE∩BD＝D，(5分) 所以AC⊥平面BDE.(6分)
(2) 设AC∩BD＝O，取BE的中点G，连结FG，OG， 11
所以OG∥DE且OG＝DE.(8分)
22
因为AF∥DE，DE＝2AF，
所以AF∥OG且AF＝OG，
从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥AO. (10分) 因为FG?平面BEF，AO?平面BEF，
所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF. (14分)
3
16. 解析：(1) 因为cosA＝，
4
3?1
所以cosC＝cos2A＝2cosA－1＝2×?－1＝. (3分) ?4?8
2
2
37
在△ABC中，因为cosA＝，所以sinA＝.(4分)
441
因为cosC＝，所以sinC＝
8
1?371－??8?＝8，(5分)
2
9
所以cosB＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝. (7分)
16ac
(2) 根据正弦定理＝，
sinAsinC
a2
所以＝.又ac＝24，所以a＝4，c＝6.(10分)
c3b2＝a2＋c2－2accosB＝25，b＝5.
所以△ABC的周长为15. (14分)
︵ππ
17. 解析：(1) 由题意，∠CAP＝－θ，所以CP＝－θ，
33又PQ＝AB－APcosθ＝1－cosθ，
所以观光专线的总长度 f(θ)＝
πππ
－θ＋1－cosθ＝－θ－cosθ＋＋1，0<θ<.(3分) 333
π
因为当0<θ<时，f′(θ)＝－1＋sinθ<0，(5分)
3π
所以f(θ)在?0，?上单调递减，
3??
︵
即观光专线CPPQ的总长度随θ的增大而减小．(6分) (2) 设翻新道路的单位成本为a(a>0)，
πππ
则总成本g(θ)＝a?－θ＋2－2cosθ?＝a?－θ－2cosθ＋＋2?，0<θ<，(8分)
33?3???g′(θ)＝a(－1＋2sinθ)．(9分) 1
令g′(θ)＝0，得sinθ＝. 2ππ
因为0<θ<，所以θ＝.(10分)
36π
当0<θ<时，g′(θ)<0，
6ππ
当<θ<时，g′(θ)>0，(12分) 63π
所以当θ＝时，g(θ)最小．(13分)
6
︵π
故当θ＝时，观光专线CPPQ的修建总成本最低. (14分)
6x2y22
18. 解析：(1) 因为椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，
ab2所以a2＝2c2，b＝c，(1分) 所以直线DB的方程为y＝－又O到直线BD的距离为所以
b11＋2
＝6， 3
2
x＋b， 2
6， 3
所以b＝1，a＝2，(3分)
x22
所以椭圆E的方程为＋y＝1.(4分)
2
(2) 设P(2，t)，t>0，
t
直线PA的方程为y＝(x＋2)，(5分)
22?由?t
y＝
?22（x＋
x22
＋y＝1，2
2），
整理得(4＋t2)x2＋22t2x＋2t2－8＝0，
2
42－2t24t??42－2t
解得xC＝，则点C的坐标是，??，(7分) 24＋t24＋t2??4＋t
因为三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积，所以三角形AOC的面积等于三角形
BPC的面积，
14t22t
S△AOC＝×2×， 2＝24＋t4＋t242－2t2?12t3?S△PBC＝×t×?2－， ?＝24＋t2?4＋t2?2t322t则＝，解得t＝2.(9分) 4＋t24＋t2所以直线PA的方程为x－2y＋2＝0. (10分)
42－2t24t
(3) 因为B(2，0)，P(2，t)，C(，)， 24＋t4＋t2t
所以BP的垂直平分线为y＝，
2BC的垂直平分线为y＝
2t2tx－2， 2t＋4
t2＋8t
所以过B，C，P三点的圆的圆心为(，)，(12分) 2
2（t＋4）2
t4t2?x－t＋8?2?y－t?2
则过B，C，P三点的圆方程为?＝＋，(14分) ?＋
2（t2＋4）??2?2（t2＋4）24?2t2＋828
即所求圆方程为x－2x＋y2－ty＋2＝0.(16分)
t＋4t＋4
2
2
1111
1－??1－?…?1－?＝，n∈N*， 19. 解析：(1) 因为??a1??a2??an?an11
所以当n＝1时，1－＝，a1＝2，(1分)
a1a1当n≥2时，
1?1111111
1－??1－?…?1－?＝和?1－??1－?…?1－由?＝?a1??a2??an?an?a1??a2??an－1?an－1，
1an－1
两式相除可得1－＝，
anan
即an－an－1＝1(n≥2)，
所以数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列. 于是，an＝n＋1. (4分)
(2) 因为ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，
??ap＋Sq＝60，所以? 2
?apSq＝18，?
??ap＝6，??ap＝54，?于是或?(7分) ?Sq＝54?Sq＝6.??
?????ap＝6，?p＝5，当?时，?（q＋3）q解得? ??S＝54q＝9，?q?＝54，?
p＋1＝6，
2?
p＋1＝54，????ap＝54，
当?时，?（q＋3）q无正整数解， ?Sq＝6?＝6，?2?所以p＝5，q＝9.(10分)
(3) 假设存在满足条件的正整数k，使得akak＋1＋16＝am(m∈N*)， 则（k＋1）（k＋2）＋16＝m＋1，
平方并化简得(2m＋2)2－(2k＋3)2＝63，(11分) 则(2m＋2k＋5)(2m－2k－1)＝63，(12分)
??2m＋2k＋5＝63，??2m＋2k＋5＝21，?所以或? ???2m－2k－1＝1?2m－2k－1＝3??2m＋2k＋5＝9，或?(4分) ?2m－2k－1＝7，?
解得m＝15，k＝14或m＝5，k＝3或m＝3，k＝－1(舍去)， 综上所述，k＝3或14. (16分)
20. 解析：(1) 设切点为(x0，y0)，f′(x)＝ex(3x＋1)，则切线斜率为ex0(3x0＋1)， 所以切线方程为y－y0＝ex0(3x0＋1)(x－x0)，因为切线过(2，0)， 所以－ex0(3x0－2)＝ex0(3x0＋1)(2－x0)， 化闻得3x20－8x0＝0， 8
解得x0＝0或x0＝. (3分)
3
当x0＝0时，切线方程为y＝x－2，(4分)
88
833
当x0＝时，切线方程为y＝9ex－18e. (5分)
3
(2) 由题意，对任意x∈R有ex(3x－2)≥a(x－2)恒成立，
ex（3x－2）?ex（3x－2）?①当x∈(－∞，2)时，a≥?a≥??，
x－2?x－2?max