发布时间 : 星期四 文章2018无锡市一模数学试题含答案更新完毕开始阅读b6b98c27c4da50e2524de518964bcf84b8d52d78
ex（3x－2）ex（3x2－8x）
令F(x)＝，则F′(x)＝，令F′(x)＝0得x＝0，
x－2（x－2）2
x F′(x) F(x) (－∞，0) ＋ 单调递增 0 0 极大值 (0，2) － 单调递减 F(x)max＝F(0)＝1，故此时a≥1.(7分)
②当x＝2时，恒成立，故此时a∈R.(8分)
ex（3x－2）?e（3x－2）?，
③当x∈(2，＋∞)时，a≤?a≤??x－2?x－2?min8令F′(x)＝0?x＝，
3
x F′(x) F(x) 8
x
?2，8? ?3?－ 单调递减 8
8 30 极小值 ?8，＋∞? ?3?＋ 单调递增 8?33
F(x)min＝F?＝9e，故此时a≤9e. ?3?综上1≤a≤9e.(10分) (3) 因为f(x) 由(2)知a∈(－∞，1)∪9e3，＋∞， ex（3x－2） 令F(x)＝，则 x－2 x F′(x) F(x) (－∞， 0) ＋ 单调 递增 (2， 0 0 极大 值 (0，2) － 单调 递减 8) 3－ 单调 递减 8 30 极大 值 8(， 3＋∞) ＋ 单调 递增 83 ( 8 ) (12分) 当x∈(－∞，2)，存在唯一的整数x0使得f(x0) 等价于a<存在唯一的整数x0成立， x－2 515 因为F(0)＝1最大，F(－1)＝，F(1)＝－，所以当a<时，至少有两个整数成立， 3ee3e5?所以a∈??3e，1?. (14分) 当x∈(2，＋∞)，存在唯一的整数x0使得f(x0) ex（3x－2） 等价于a>存在唯一的整数x0成立， x－2 8?3443 因为F?＝9e；最小，且F(3)＝7e，F(4)＝5e，所以当a>5e时，至少有两个整数成?3?立， 所以当a≤7e3时，没有整数成立，所有a∈(7e3，5e4]. 5 ，1?∪(7e3，5e4]. (16分) 综上：a∈??3e? 8 ?1? 21. 解析：由矩阵A属于特征值λ1的一个特征向量为a1＝??可得， ?－2? ?3－8＝λ1，?34??1?＝λ?1?，即??(2分) ?????? ?ab??－2?1?－2???a－2b＝－2λ1， 得a＝2b＝10， ?2??34由矩阵A属于特征值λ2的一个特征向量为a2＝??，可得? ?ab?－3? ??6－12＝2λ2， 即?(6分) ?2a－3b＝－3λ2，? ??2?＝λ?2?， ???2????－3??－3? 得2a－3b＝9， ?3?a＝－12，? 解得?即A＝? ?－12?b＝－11，? ? ?，(10分) －11? 4 22. 解析：由ρ＝4sinθ，得ρ2＝4ρsinθ， 所以x2＋y2＝4x， 即圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4，(3分) ?又由?消去t，得3?y＝2t＋m， 由直线l与圆C相交， 1x＝t，2 3x－y＋m＝0，(6分) |m－2|所以<2，即－2 2 23. 解析：(1) 记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A，则A为该公司在星期四最多有一辆汽车出车． 1??1?91?3??1??1?1?1??1??1?P(A)＝?＋C＋C＝22?4??2??4??4??2??2??2??4?64. 55 ∴ P(A)＝1－P(A)＝.(3分) 64 55 答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为. 64(2) 由题意，ζ的可能值为0，1，2，3，4， 1??1?1 P(ζ＝0)＝?＝?2??4?64； 2 2 2 2 2 2 P(ζ＝1)＝C12 3??1??1?1?1??1??1?＋C1?24·42＝； ?2??2??4???????8 2 2 2 2 2 22 1??1??3??1?11?1?1?3??1?P(ζ＝2)＝?＋＋CC＝22 ?2??4??4??2??2??4??4?32； 1?1?3??1??3?1?1?3 P(ζ＝3)＝??2?C2?4??4?＋?4?C2?2?＝8； 3??1?9P(ζ＝4)＝?＝?4??2?64.(8分) ζ P 0 1 641 1 82 11 323 3 84 9 642 22 2 2 111395E(ζ)＝＋2×＋3×＋4×＝. 83286425 答：ζ的数学期望为.(10分) 2 24. 解析：(1)因为PE⊥底面ABCD，过点E作ES∥BC，则ES⊥AB， 以E为坐标原点，EB方向为x轴的正半轴， ES方向为y轴的正半轴，EP方向为z轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则E(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，A(－1，0，0)，D(－1，2，0)，P(0，0，3)， →→ CD＝(－2，1，0)，PC＝(1，1，－3)．(2分) 设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)， →则n·CD＝－2x＋y＝0， →n·PC＝x＋y－3z＝0，解得n＝(1，2，3)， 因为平面ABCD的一个法向量为m＝(0，0，1)，(3分) n·m36 所以cos〈n，m〉＝＝＝，(4分) |n||m|1＋4＋34所以sin〈n，m〉＝10 .(5分) 4 (2) 设点M的坐标为(x1，y1，z1)． 因为EM⊥平面PCD， x1y1z1→ 所以EM∥n，即＝＝， 123即y1＝2x1，z1＝3x1，(6分) →→→ 因为PM＝(x1，y1，z1－3)，PD＝(－1，2，－3)，PC＝(1，1，－3)， →→→ 所以PM＝λPC＋μPD＝(λ－μ，λ＋2μ，－3λ－3μ)， 所以x1＝λ－μ，y1＝λ＋2μ＝2x1＝2(λ－μ)， 即λ＝3μ，(8分) 11 z1－3＝－3λ－3μ，λ＝，所以μ＝，(9分) 26 153 所以点M的坐标为?，，?.(10分) ?363?