发布时间 : 星期二 文章江苏省七市(南通泰州扬州徐州淮安宿迁连云港)2019届高三第三次调研考试数学附答案更新完毕开始阅读b6cdca6a9fc3d5bbfd0a79563c1ec5da51e2d625
1
又圆O：x2＋y2＝a2经过点M(0，1)，所以a＝2.(2分)
4
x2y2
所以椭圆C的方程为＋＝1.(4分)
43
46
(2) 若直线l1的斜率为0，则PQ＝，MN＝2，
3
46
所以△PQN的面积为，不合题意，所以直线l1的斜率不为0.(5分)
3
设直线l1的方程为y＝kx＋1，
x2y2??4＋3＝1，由?消y，得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.
??y＝kx＋1
－4k－26·2k2＋1－4k＋26·2k2＋1设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＝，x2＝，
3＋4k23＋4k246·1＋k2·2k2＋1
所以PQ＝（x1－x2）＋（y1－y2）＝1＋k|x1－x2|＝.(8分)
3＋4k21
由题可知，直线l2的方程为y＝－x＋1，即x＋ky－k＝0，
k
k22
所以MN＝21－.(11分) 2＝1＋k1＋k2222221146·1＋k·2k＋12
所以△PQN的面积S＝PQ·MN＝×·＝3，
223＋4k21＋k211
解得k＝±，即直线l1的斜率为±.(14分)
22
18. 解：(1) (解法1)建立如图所示的直角坐标系，
3
则B(2，0)，D(0，)，
2
直线BD的方程为3x＋4y－6＝0.(2分) 设F(0，b)(b>0)，
因为点F到AB与BD的距离相等，
|4b－6|2
所以b＝，解得b＝或b＝－6(舍去)．(4分)
53
122
所以△ABF的面积为×2×＝ m2，
233
4
所以四边形ABA′F的面积为 m2.
34
答：风筝面ABA′F的面积为 m2.(6分)
3
(解法2)设∠ABF＝θ，则∠ABA′＝2θ.
AD3
在直角三角形ABD中，tan 2θ＝＝，(2分)
AB4
2tan θ31所以2＝，解得tan θ＝或tan θ＝－3(舍去)． 31－tanθ4
2
所以AF＝ABtan θ＝.(4分)
31224
所以△ABF的面积为×2×＝ m2，所以四边形ABA′F的面积为 m2.
2333
9
4
答：风筝面ABA′F的面积为 m2.(6分)
3
(2) (解法1)建立如图所示的直角坐标系． 设AE＝a，AF＝b，A′(x0，y0)， 则直线EF的方程为bx＋ay－ab＝0. 因为点A，A′关于直线EF对称，
y0a＝，x0b所以
bx0ay0
＋－ab＝0，22
22ab
解得y0＝2.(10分)
a＋b2
???
23a323
因为四边形AEA′F的面积为3，所以ab＝3，所以y0＝4＝.
3a＋3
a＋3a
323因为0 23 2 3239（a＋3）（a＋3）（a－3） 设f(a)＝a＋3，≤a≤2，则f′(a)＝1－4＝. a3aa4令f′(a)＝0，得a＝3或a＝－3(舍去)． 列表如下： 23a (3，2] 3 [，3) 3f′(a) 0 － ＋ f(a) 单调递减 极小值 单调递增 43当a＝3时，f(a)取得极小值，即最小值， 33 所以y0的最大值为，此时点A′在CD上，a＝3，b＝1. 2 3 答：点A′到AB距离的最大值为 m．(16分) 2 (解法2)设AE＝a，∠AEF＝θ，则AF＝atan θ. 因为四边形AEA′F的面积为3，所以AE·AF＝3， 3 即a2tan θ＝3，所以tan θ＝2. a 过点A′作AB的垂线A′T，垂足为T， 则A′T＝A′E·sin 2θ＝AE·sin 2θ＝asin 2θ(10分) 32×2a2sin θcos θ2tan θ23 ＝a·2＝a·2＝a·＝. 233sinθ＋cosθtanθ＋1 ＋1a＋3a4a 10 323因为0 23 (下同解法1) 12 19. (1) 证明：由(nan－1－2)an＝(2an－1)an－1，得＝＋2－n， anan－1 11 得－n＝2?a－（n－1）?，即bn＝2bn－1. an?n－1? 12bn因为a1＝3，所以b1＝－1＝－≠0，所以＝2(n≥2)， a13bn－1 所以数列{bn}是以b1为首项，2为公比的等比数列．(4分) 1 (2) ①解：设－1＝λ，由(1)知bn＝2bn－1， a1 1－－ 所以bn＝2bn－1＝22bn－2＝…＝2n1b1，即－n＝λ·2n1， an 1－ 所以＝λ·2k1＋k.(6分) ak111－＋ 因为，，成等差数列，则(λ·2k1＋k)＋(λ·2k1＋k＋2)＝2(λ·2k＋k＋1)， akak＋1ak＋2 11－ 所以λ·2k1＝0，所以λ＝0，所以＝n，即an＝.(10分) ann 11 ②证明：要证ln n＋an>ln(n＋1)－an＋1， 22n＋1n＋1111 即证(an＋an＋1)>ln，即证＋>2ln. 2nnn＋1nn＋1t－1111设t＝，则＋＝t－1＋＝t－，且t>1， nnn＋1tt 1 从而只需证：当t>1时，t－>2ln t．(12分) t 1121 设f(x)＝x－－2ln x(x>1)，则f′(x)＝1＋2－＝(－1)2>0， xxxx 1 所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(1)＝0，即x－>2ln x. x 1 因为t>1，所以t－>2ln t，所以原不等式得证．(16分) t －－ 20. 解：(1) f(x)的定义域为(0，e1)∪(e1，＋∞)． 11 2ax（1＋ln x）－ax2·2ax（＋ln x） x2 由f′(x)＝＝，(2分) 2（1＋ln x）（1＋ln x）21 令f′(x)>0，因为a>0，得x>e－. 2 1－1 因为e－>e1，所以f(x)的单调增区间是(e－，＋∞)．(4分) 22 b－1 (2) 当a<0时，f(1)＝a<0<2e，不合题意； 1－－ 当a>0时，令f′(x)<0，得0 2 1－－ 所以f(x)在区间(0，e1)和(e1，e－)上单调递减． 2 111－ 因为∈(e1，e－)，且f(x)在区间(e－，＋∞)上单调递增， 222 12a2a 所以f(x)在x＝e－处取极小值，即最小值为.(6分) 2ee 12a－－ 若x≥，f(x)≥2eb1，则≥2eb1，即a≥eb. 2e bb 不妨设b>0，则≤b.(8分) ae 11 1－bb 设g(b)＝b(b>0)，则g′(b)＝b. ee 当0 所以g(b)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， b1 所以g(b)≤g(1)，即b≤， ee b1 所以的最大值为.(10分) ae (3) 由(2)知，当a>0时，f(x)无极大值． 11－－ 当a<0时，f(x)在(0，e1)和(e1，e－)上单调递增，在(e－，＋∞)上单调递减， 22 112a 所以f(x)在x＝e－处取极大值，所以f(e－)＝＝－2，即a＝－e.(12分) 22e 2ex 设F(x)＝f(x)＋ex，即F(x)＝ex－， 1＋ln x － 当x∈(0，e1)，1＋ln x<0，所以F(x)>0； ex（1＋2ln x）－ 当x∈(e1，＋∞)，F′(x)＝ex－， （1＋ln x）2由(2)知ex≤ex，又1＋2ln x≤(1＋ln x)2， － 所以F′(x)≥0，且F(x)不恒为零，所以F(x)在(e1，＋∞)上单调递增． －－