发布时间 : 星期日 文章浙江省高三数学专题复习攻略 第一部分专题四第三讲 空间向量与立体几何专题针对训练 理 新人教版更新完毕开始阅读b7071e2aaa114431b90d6c85ec3a87c240288a6d
《优化方案》高三专题复习攻略（新课标）数学浙江理科第一部
分专题四第一讲 空间几何体专题针对训练
一、选择题
1．若不同直线l1，l2的方向向量分别为μ，v，则下列直线l1，l2中既不平行也不垂直的是( )
A．μ＝(1,2，－1)，v＝(0,2,4) B．μ＝(3,0，－1)，v＝(0,0,2) C．μ＝(0,2，－3)，v＝(0，－2,3) D．μ＝(1,6,0)，v＝(0,0，－4)
解析：选B.A项中μ·v＝0＋4－4＝0， ∴l1⊥l2；C项中μ＝－v， ∴μ，v共线，故l1∥l2； D项中，μ·v＝0＋0＋0＝0， ∴l1⊥l2，故选B.
→→→→→→
2．设A、B、C、D是空间不共面的四个点，且满足AB·AC＝0，AD·AC＝0，AD·AB＝0，则△BCD的形状是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定
→→→→→→
解析：选C.BC·BD＝(AC－AB)·(AD－AB) →→→→→→→→
＝AC·AD－AC·AB－AB·AD＋AB2＝AB2>0，
→→→→
同理DB·DC>0，CB·CD>0， ∴△BCD是锐角三角形，故选C.
3．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为( )
222A. B.
3321 D. 43解析：选D.如图所示，连接A1C1， ∵AA1⊥平面A1B1C1D1，
∴∠AC1A1就是直线AC1与平面A1B1C1D1所成角的平面角．
22
而AC1＝2＋2＋1＝3，
AA11
∴sin∠AC1A1＝＝.
AC13
4．(2011年高考辽宁卷)如图，四棱锥SABCD的底面为正方形， SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( ) A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析：选D.易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC?平面SCD，故AB∥平面SCD，B正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．
5．菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠BCD＝60°，现将其沿对角线BD折成直二面角A-BD-C(如图)，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )
C.
A.
15 5
B.
10 5
1C. 43D. 4
→→→→→→
解析：选C.AB·CD＝(AO＋OB)·(CO＋OD) ＝0＋0＋0－1＝－1， →→
而|AB|＝|CD|＝2，
－11→→
∴cos〈AB，CD〉＝＝－，
44
1
故异面直线AB与CD所成角的余弦值为.故选C.
4
二、填空题
→
6．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心，若EF→
＋λA1D＝0，则λ＝________.
1→1→
解析：连接A1D、C1D，A1C1，则EF綊A1D，故EF＝A1D，即λ＝－
22
1. 2
1
答案：－
2
7．如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为________．
解析：不妨设三棱柱ABC—A1B1C1的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3，－1,0)，B1(3，1,2)，
1??3
D?，－，2?，
2??2
1?→→?3
则CD＝?，－，2?，CB1＝(3，1,2)．
2??2
→??n·CD＝0，
设平面B1DC的法向量为n＝(x，y,1)，由?
→??n·CB1＝0，
解得n＝(－3，1,1)．
1?→?3
又∵DA＝?，－，－2?，
2?2?
4→
∴sinθ＝|cos〈DA，n〉|＝.
5
4答案：
5
8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上，当∠APC最大时，三棱锥P-ABC的体积为________．
解析：如图，以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴
→→
建立空间直角坐标系，设BP＝λBD1(0≤λ≤1)，可得P(λ，λ，λ)，
→→PA·PC1
再由cos∠APC＝可求得当λ＝时，∠APC最大，
→→3|PA|·|PC|
11111
故VP-ABC＝××1×1×＝，故填.
32318181
答案：
18三、解答题
9．如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1.
(1)证明：EM⊥BF；
(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．
解：(1)证明：因为AC是圆O的直径，所以∠ABC＝90°，又∠BAC＝30°，AC＝4，所以AB＝23，而BM⊥AC，易得AM＝3，BM＝3.
如图，以A为坐标原点，垂直于AC的直线、AC、AE所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由已知条件得A(0,0,0)，M(0,3,0)， E(0,0,3)，B(3，3,0)，F(0,4,1)， →→
∴ME＝(0，－3,3)，BF＝(－3，1,1)． →→
由ME·BF＝(0，－3,3)·(－3，1,1)＝0， →→
得ME⊥BF，∴EM⊥BF.
→→
(2)由(1)知BE＝(－3，－3,3)，BF＝(－3，1,1)． 设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，
?－3x－3y＋3z＝0→→
由n·BE＝0，n·BF＝0，得?
?－3x＋y＋z＝0
令x＝3得y＝1，z＝2，∴n＝(3，1,2)，
，
→
由已知EA⊥平面ABC，所以平面ABC的一个法向量为AE＝(0,0,3)， 设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，
|3×0＋1×0＋2×3|2→
则cosθ＝|cos〈n，AE〉|＝＝，
23×222. 2
10．已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，其中BC＝2AB＝2PA＝6，M，N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示．
(1)求证：AN∥平面MBD；
(2)求异面直线AN与PD所成角的余弦值； (3)求二面角M-BD-C的余弦值．
解：(1)证明：连结AC交BD于点O，连结OM， ∵底面ABCD为矩形， ∴O为AC的中点，
∵M、N为侧棱PC的三等分点， ∴CM＝MN，∴OM∥AN，
∵OM?平面MBD，AN?平面MBD， ∴AN∥平面MBD.
(2)如图所示，以A点为原点，建立空间直角坐标系A—xyz， 则A(0,0,0)，B(3,0,0)，
C(3,6,0)，D(0,6,0)，P(0,0,3)，M(2,4,1)，N(1,2,2)，
故平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为
→→
∵AN＝(1,2,2)，PD＝(0,6，－3)．
→→
AN·PD0＋12－625→→
∴cos〈AN，PD〉＝＝＝，
→→153×35|AN||PD|
25
∴异面直线AN与PD所成角的余弦值为.
15
(3)∵侧棱PA⊥底面ABCD，
→
∴平面BCD的一个法向量为AP＝(0,0,3)， 设平面MBD的法向量为m＝(x，y，z)， →→
∵BD＝(－3,6,0)，BM＝(－1,4,1)，
→→
并且m⊥BD，m⊥BM， ??－3x＋6y＝0，∴? ?－x＋4y＋z＝0，?
令y＝1得x＝2，z＝－2，
∴平面MBD的一个法向量为m＝(2,1，－2)．
→AP·m2→
cos〈AP，m〉＝＝－.
→3|AP||m|
由图可知二面角M-BD-C是锐角，
2
∴二面角M-BD-C的余弦值为.
3
11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． (1)求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值； (2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
→→→
解：设正方体的棱长为1.如图所示，以AB，AD，AA1为单位正交基底建立空间直角坐标系．
(1)依题意，得B(1,0,0)，
11→→
E(0,1，)，A(0,0,0)，D(0,1,0)，所以BE＝(－1,1，)，AD＝
22
(0,1,0)．
→
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为AD⊥平面ABB1A1，所以AD是平面ABB1A1的一个法向量．设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，则
→→|BE·AD|12
sin θ＝＝＝.
→33|→BE||AD|×1
2
2
即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.
3
(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.证明如下：
1→→
依题意，得A1(0,0,1)，BA1＝(－1,0,1)，BE＝(－1,1，)．
2
设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，
→→
则由n·BA1＝0，n·BE＝0，