发布时间 : 星期三 文章2020版高考数学大一轮复习-第5节椭圆(第2课时)直线与椭圆讲义(理)(含解析)新人教A版更新完毕开始阅读b8446312370cba1aa8114431b90d6c85ec3a88ad
第2课时 直线与椭圆
考点一 中点弦及弦长问题 角度1 中点弦问题
【例1-1】 已知椭圆+y=1,
2
(1)过A(2,1)的直线l与椭圆相交,求l被截得的弦的中点轨迹方程;
多维探究
x2
2
?11?(2)求过点P?,?且被P点平分的弦所在直线的方程. ?22?
解 (1)设弦的端点为P(x1,y1),Q(x2,y2),其中点是M(x,y),则x2+x1=2x,y2+y1=2y,由于点P,Q在椭圆上,则有:
??2+y=1,①
?x??2+y=1,②
2
1
22
22
x21
①-②得
y2-y1x2+x1x=-=-, x2-x12(y2+y1)2yxy-1
所以-=,
2yx-2
化简得x-2x+2y-2y=0(包含在椭圆+y=1内部的部分).
2
2
2
x2
2
x1
(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k=-=-,
2y2
11?1?
因此所求直线方程是y-=-?x-?,化简得2x+4y-3=0.
22?2?规律方法 弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系:直线与椭圆方程联立、消元,利用根与系数关系表示中点; (2)点差法:利用弦两端点适合椭圆方程,作差构造中点、斜率. 角度2 弦长问题
x2y2
【例1-2】 (2019·北京朝阳区模拟)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为
abF1,F2,且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3,椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)是否存在斜率为-1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A,B两点,与椭圆相交于
12
1
C,D,且
|CD|83
=?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由. |AB|7
解 (1)根据题意,设F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0),
a+c=3,??
由题意可得?c1
=,??a2
解得a=2,c=1,则b=a-c=3, 故椭圆C的标准方程为+=1.
43
(2)假设存在斜率为-1的直线l,设为y=-x+m, 由(1)知F1,F2的坐标分别为(-1,0),(1,0), 所以以线段F1F2为直径的圆为x+y=1,
|-m|
由题意知圆心(0,0)到直线l的距离d=<1,
2得|m|<2. |AB|=21-d=22
22
2
2
2
2
2
x2y2
1-=2×2-m,
2
m2
2
xy??+=1,22
联立得?43消去y,得7x-8mx+4m-12=0,
??y=-x+m,
由题意得Δ=(-8m)-4×7(4m-12)=336-48m=48(7-m)>0,解得m<7, 设C(x1,y1),D(x2,y2), 8m4m-12则x1+x2=,x1x2=,
77|CD|=2|x1-x2|=2×
222
2
2
2
2
?8m?-4×4m-12
?7?7??
22
=2×336-48m46832
=×7-m=|AB| 4977
832=×2×2-m,
7132
解得m=<7,得m=±.
33
即存在符合条件的直线l,其方程为y=-x±3
. 3
规律方法 1.解决直线与椭圆相交的问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题. 2.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),
2
则|AB|=(1+k)[(x1+x2)-4x1x2] =
22
?1+12?[(y+y)2-4yy](k为直线斜率). ?k?1212??
x2y2
【训练1】 (1)(一题多解)已知斜率为2的直线经过椭圆+=1的右焦点F1,与椭圆相交
54于A,B两点,则弦AB的长为________.
(2)(一题多解)(2019·广东五校调研)若椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2),直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1,则这个椭圆的方程为( ) A.+=1 1220C.+=1 128
x2x2
y2
B.+=1 412D.+=1 812
x2x2
y2y2
y2
解析 (1)法一 由题意知,椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0),直线AB的方程为y=2(x-1),
y=2(x-1),??22
2
由?xy消去y,得3x-5x=0,
+=1??54
?54?故得A(0,-2),B?,?,则 ?33?
|AB|=
?0-5?+?-2-4?=55. ?3???3?3???
22
法二 由题意知,椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0), 直线AB的方程为y=2(x-1),
y=2(x-1),??22
2
由?xy消去y得3x-5x=0,
+=1,??54
设A(x1,y1),B(x2,y2), 5
则x1+x2=,x1x2=0,
3
则|AB|=(x1-x2)+(y1-y2) =(1+k)[(x1+x2)-4x1x2] =
222
2
?5??552
(1+2)???=3. -4×0????3??
2
(2)法一 ∵椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2),
x2
∴设椭圆方程为2+2=1(b>0),
b+4b
3
y2
yx??2+2=1,由?b+4b消去x, ??y=3x+7
得(10b+4)y-14(b+4)y-9b+13b+196=0,
设直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意知
2
2
2
4
2
22
y1+y2
2
=1,
2
14(b+4)2∴y1+y2==2,解得b=8. 2
10b+4∴所求椭圆方程为+=1.
812
法二 ∵椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2),
x2y2
x2
∴设椭圆的方程为2+2=1(b>0).
b+4b设直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则
y2
??
?yx??b+4+b=1, ②
2
22
222
x21
+2=1, ①2
b+4by21
(y1-y2)(y1+y2)(x1-x2)(x1+x2)①-②得+=0,
b2+4b2
y1-y2y1+y2b2+4
即·=-2, x1-x2x1+x2b又∵弦AB的中点的纵坐标为1,故横坐标为-2,
y1-y22×1b2+4x22k==3,代入上式得3×=-2,解得b=8,故所求的椭圆方程为+x1-x22×(-2)b8
=1. 12
55
答案 (1) (2)D
3考点二 最值与范围问题
易错警示
y2
x2y2
【例2】 (2019·天津和平区质检)已知P点坐标为(0,-2),点A,B分别为椭圆E:2+2
ab→3→
=1(a>b>0)的左、右顶点,直线BP交E于点Q,△ABP是等腰直角三角形,且PQ=QB.
2(1)求椭圆E的方程;
(2)设过点P的动直线l与E相交于M,N两点,当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时,求直线l斜率的取值范围.
解 (1)由△ABP是等腰直角三角形,得a=2,B(2,0).
4