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高考数学概率中的易错题辨析
概率是高中数学的新增内容，是衔接初等数学与高等数学的重要知识。这部分内容由于问题情境源于实际，贴近生活，所以学生乐学且易于接受；但这部分内容由于易混点多，重复、遗漏情况不易察觉等，学生感觉易做但易错。下面我们将学生容易出现的错误列举出来,并加以辨别分析,以期对今后的学习提供帮助。
一、概念理解不清致错
例1．抛掷一枚均匀的骰子，若事件A：“朝上一面为奇数”，事件B：“朝上一面的点数不超过3”，求P（A+B）
错误解法：事件A：朝上一面的点数是1，3，5；事件B：趄上一面的点数为1，2，3，
331?? 662错因分析：事件A：朝上一面的点数是1，3，5；事件B：趄上一面的点数为1，2，3，很明显，事件A与事件B不是互斥事件。
即P（A+B）≠P（A）+P（B），所以上解是错误的。实际上： 正确解法为：A+B包含：朝上一面的点数为1，2，3，5四种情况
42∴P（A+B）=?
63错误解法2：事件A：朝上一面的点数为1，3，5；事件B：朝上一面的点数为1，2，3，即以A、B事件中重复的点数1、3
∴P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A·B）
11113=???? 222242错因分析：A、B事件中重复点数为1、3，所以P（A·B）=；这种错误解法在于简
6∴P（A+B）=P（A）+P（B）=
单地类比应用容斥原理Card(A?B)?Card(A)?Card(B)?Card(A?B)致错
正确解答：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A·B）
=
1122??? 2263例2．某人抛掷一枚均匀骰子，构造数列{an}，使an??)?1,(当第n次掷出偶数)??1,(当第n次掷出奇数，记
Sn?a1?a2???an 求Si?0(i?1,2,3,4)且S8?2的概率。
错解：记事件A：S8?2，即前8项中，5项取值1，另3项取值－1
5∴S8?2的概率P(A)?C8?()8
12记事件B：Si?0(i?1,2,3,4)，将Si?0(i?1,2,3,4)分为两种情形： （1）若第1、2项取值为1，则3，4项的取值任意
（2）若第1项为1，第2项为－1，则第3项必为1第四项任意
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∴P（B）=()2?()3?
5∴所求事件的概率为P=P（A）·P（B）=?C8?()8
1212383812错因分析：Si?0且S8?2是同一事件的两个关联的条件，而不是两个相互独立事件。
Si?0对S8?2的概率是有影响的，所以解答应为：
正解：∵Si?0(i?1,2,3,4) ∴前4项的取值分为两种情形
3①若1、3项为1；则余下6项中3项为1，另3项为-1即可。即P1?C6?()8；
12②若1、2项为正，为避免与第①类重复，则第3项必为-1，
3则后5项中只须3项为1，余下2项为-1，即P2?C5?()8，
1211533∴所求事件的概率为P?(C6?C5)?()8?7
22二、有序与无序不分致错
例3．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断
题4个，甲、乙依次各抽一题。
求：（1）甲抽到选择题，乙提到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少？
1错误解法：（1）甲从选择题抽到一题的结果为C6 1乙从判断题中抽到一题的结果为C4 2而甲、乙依次抽到一题的结果为C10
∴所求概率为：
11C6C42C10?8 152
错因分析：甲、乙依次从10个题目各抽一题的结果，应当是先选后排，所以应为A10。1
为避免错误，对于基本事件总数也可这样做：甲抽取一道题目的结果应为C10种，乙再抽取1余下的9道题中的任一道的结果应为C9种，所以
正确解答：
11C6C411C10C9?4 152（2）错误解法：从对立事件考虑，甲、乙都抽到判断题的结果为C4种，所以都抽到判
断题的概率为
2C411C10C9?1114，所求事件的概率为1?? 151515学习必备 欢迎下载
错因分析：指定事件中指明甲、乙依次各抽一题，那么甲、乙都提到判断题的结果应为
11C4C3种，所以所求事件概率应为1?
11C4C311C10C9?
2
15
说明：对于第（2）问，我们也可以用这样解答：
1?2C42C10?2，这里启示我们，当基本事件是有序的，则指定事件是有序的（指定事件15包含在基本事件中）；当基本事件是无序的，则指定事件也必无序。关键在于基本事件认识角度必须准确。
例4．已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支，求：A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率。
44C4种方法：A、B两组中有一组恰有两错解1：将8支球队均分为A、B两组，共有C822C3支弱队的分法为：先从3支弱队取2支弱队，又从5支强队取2支强队，组成这一组共有C5种方法，其它球队分在另一组，只有一种分法。
∴所求事件的概率为：
22C5C24C84C4?3。 7错因分析：从基本事件的结果数来看，分组是讲求顺序的，那么指定事件：“A、B组中有一组有2支弱队”应分为两种情形。即“A组有”或“B组有”，所以正确解答为：
正解：
222C5C24C84C422C5C66?或4422? 7C8C4/A27说明：这道题也可从对立事件求解：
11?C53支弱队分法同一组共有：C5种结果。
∴所求事件概率为1?11C5?C54C84C4?6 7三、分步与分类不清致错
例5．某人有5把不同的钥匙，逐把地试开某房门锁，试问他恰在第3次打开房门的概率？
错误解法：由于此人第一次开房门的概率为率应为
1，若第一次未开，第2次能打开房门的概511；所以此人第3次打开房门的概率为。 43错因分析：此人第3次打开房门实际是第1次未打开，第2次未打开，第3次打开“这三个事件的积事件” ，或者理解为“开房门是经过未开、未开、开”这三个步骤，不能理解为此事件只有“开房门”这一个步骤，所以，正确解答应为：
43正解：第1次未打开房门的概率为；第2次未开房门的概率为；第3次打开房门
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14311，所求概率为：P????。 35435例5．某种射击比赛的规则是：开始时在距目标100m处射击，若命中记3分，同时停止射击。若第一次未命中，进行第二次射击，但目标已在150m远处，这时命中记2分，同时停止射击；若第2次仍未命中，还可以进行第3次射击，此时目标已在200m远处。若第3次命中则记1分，同时停止射击，若前3次都未命中，则记0分。已知身手甲在100m处
1击中目标的概率为，他命中目标的概率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立
2的。求：射手甲得k分的概率为Pk，求P3，P2，P1，P0的值。
：设射手射击命中目标的概率P与目标距离x之间的关系
k1k为P?2，由已知 ??k?500 022x1001错误解法：P3?
250002P2?? 2915050001P1?? 2820012149 P0?(1?)(1?)(1?)?298144错因分析：求P2时，将第150m处射击命中目标的概率作为第2次命中目标的概率，隔离了第1次射击与第2次射击的关系，实际上，第2次射击行为的发生是在第1次未击中的前提下才作出的。
∴P2应为“第1次未击中，第2次击中”这两个事件的积事件的概率。求P1时也如此。
1正解：P3?
2121P2?(1?)??
2991217 P1?(1?)(1?)??29814412149 P0?(1?)(1?)(1?)?298144的概率为
四、考虑不周致错
例6．某运动员射击一次所得环数x的分布列如下：
x 7 8 9 10 P 0.2 0.2 0.2 0.2
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高的环数作为他的成绩记为?，求：?的分布列。
错误解法：?的取值为8，9，10。?=7，两次环数为7,7；?=8，两次成绩为7，8或8，8；?=9，两次成绩7，9或8，9或9，9；?=10，两次队数为7，10或8，10或9，10或10，10。
∴P(??7)?0.2?0.2?0.04
P(??8)?0.2?0.3?0.32?0.15